x?a （1）在?a,b?内f?x??0；
x?a?限limf?2x?a?存在，证明：
（2）在?a,b?内存在?，使
b?aba22?f?x?dx?2?f???；
（3）在?a,b?内存在与（2）中?相异的点?，使 f?????b2?a2??
（18）（本题满分10）设S为椭球面
x22??f?x?dx??aab
2?y22?z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S，?为S在点P处的
切平面，??x,y,z?为原点到?的距离，求??Sz??x,y,z?dS
（19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y(x)幂级数为?anx ，且和函数
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1
n（1） 证明：an?2?2ann?1（2） 求y(x)的表达式
，n?1,2.3,......
（20）（本题满分11分）设A?(aij)3?3是实矩阵，满足：
（1）(aij)?(Aij)(i,j?1,2,3)，其中Aij为元素aij的代数余子式； （2）a33??1； （3）A?1
?0???求非齐次线性方程组Ax??0?的解
?1???
（21）（本题满分10）设有n元实二次型，
f?x1,x2,...,xn???x1?a1x2?12??x2?a2x3??...??xn?1?an?1xn???xn?anx1?222，其中
ai(?i,为实数。试问：当na1,a2,...,an满足何种条件时，二次型f?x1,x2,...,xn?为正定二次
型
（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y的联合分布是正方形G???x,y?:1?x?3,1?y?3?的均匀分
布。试求随机变量U?X?Y的概率密度p(u)
?6x(??x),?（23）（本题满分10分）设总体X的概率密度为：f(x;?)???3?0,?0?x??其他，其中?是未知参
数，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，
?（1）求?的矩估计量?；
?)D(?（2）求
.
模拟四
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
1（1）函数f(x)?(ex?e)tanx1在区间???,??上的第一类间断点是x?（ ）
x(ex?e)（A） 0 （B） 1 （C）??2 （D）
?2
（2）设函数f(x),g(x)任意阶可导，且满足f??(x)?f?(x)g(x)?f(x)x?ex?1,f(0)?1,f?(0)?0,则（ ）
（A） f(0)?1为f(x)的极小值 （B）f(0)?1为f(x)的极大值 （C） 点(0,1)y?f(x)的拐点 （D）由g(x)才能f(x)的极值或拐点 （3）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?01下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
2n3n
（4）limn????i?1j?12i?j[]等于（ ）（[x]表示不超过x的最大整数） 2nn111000（A）?dx?2[x?y]dy. （B）?dx?6[x?y]dy.
01（C）?dx?12[2x?3y]dy. （D）?dx?6[2x?3y]dy
00001111（5）若?1,?2,?3,?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式?1,?2,?3,?1?m,?1,?2,?2,?3?n 则四阶行
列式?3,?2,?1,(?1??2)?（ ）
（A） m?n （B）?(m?n) （C）n?m （D）m?n （6）对于n元方程组，下列命题正确的是 （ ）
（A）如果Ax?0只有零解，则Ax?b有唯一解
（B）如果Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷解
（C）如果Ax?b有两个不同解，则Ax?0有无穷多解 （D）Ax?b有唯一解的充要条件是r(A)?n
（7）设随机变量X和Y相互独立，且X?N?0,1?，Y?B?n,p?,0?p?1。则X?Y的分布函数（ ）
（A）是连续函数 （B）恰有n?1个间断点 （C） 恰有1个间断点 （D）有无穷多个间断点 （8）设X?N?0,1?，Y?2X2?X?3，则X与Y （ ）
（A）独立且互不相关 （B）互不相关但不独立 （C） 相关 （D）无法判断
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）极限limtanx?tan2sinln(x?1)?
x?2（10）微分方程y??y(1?x)x2的通解为 x1y?10z?2?1（11）已知两直线的方程是L1:方程为
??，L2:x?11?y?11?z?11，则过L1且平行于L2的平面
（12）曲面z?cosxcosy，z?0，x?y??2，x?y??2所围立体的体积为
2（13）二次型f(x1,x2,x3)?(a1x1?a2x2?a3x3)的矩阵是 （14）甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者
为胜。设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0.5 ，则p?时，甲乙胜负概率相同
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）设0?x1?1，xn?1?
（16）（本题满分10分）设f?u,v?具有二阶连续偏导数，且满足
22xn?2?xn?，证明limxn存在，并求其值
n???f?u22??f?v22?1，
?g?g1??? g?x,y??f?xy,x2?y2?，求 22?x?y2????
（17）（本题满分10分）设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导?0?a?b?，证明：存在?,???a,b?，使得 f
（18）（本题满分10分）f(x)?pe?x?x2?x ，若对于一切的x?0，恒有f(x)?1，问常数p最小应取
什么值？
（19）（本题满分10分）将f(x)?2xarctanx?ln(x?1)?1展成x的幂极数
TTT（20）（本题满分10分）设A?(aij)m?n，y?(y1,y2,?,yn)，b?(b1,b2,?,bn)，x?(x1,x2,?,xn)，
'????f'???ab2?
2?AT证明：方程组Ay?b有解的充分必要条件是方程组??bT???0?x????无解（其中0是n?1矩阵） ??1??
