动力气象学
授课教师：张熠
涡旋运动是地球流体动力学中的一个很重要的特点
经典力学中常用角动量守恒来分析与旋转有关的运动 对于大气这样的连续流体，如何定义“转动” 环流和涡度是流体转动的主要度量环流：表征有限面积内旋转的总趋势涡度：表征个别质点旋转的微观度量
第一节1.环流定义：
环流
涡度
在流体中任取一闭合曲线，流体速度在此曲线上的切向分量的线积分δrαk
V
Γ= V δ r= V cosαδ r
∫s
∫s
s
r+δ r
r
标量
Γ= V δ r= udx+ vdy+ wdz
∫s
∫s
j i
S:物质线 有正负：沿s做逆时针运动为正 δ r:相邻两点的矢径差 α:δ r与V的夹角
表征流体沿闭合曲线的流动趋势，也表明转动的倾向
Γ= V δ r= udx+ vdy+ wdz
∫s
∫s
z 2u 0
z 2u 0
u0Γ= u 0 ( xr xl )+ 2u 0 ( xl xr )= u 0 ( xr xl )
u 0
Γ= u 0 ( xr xl )+ 2u 0 ( xl xr )= 3u 0 ( xr xl )
注意点： 环流取逆时针方向为正，顺时针方向为负 环流是一个标量
2.涡度：速度场的旋度
ω= ×V w v u w v u = y z i+ z x j+ x y k =ξ i+η j+ζ k方向：逆时针旋转涡度为正，顺时针旋转涡度为负动力气象学中主要关心的是垂直涡度 涡度反映了流体元旋转性的强弱 矢量 无辐散量
3.环流与涡度的关系 利用stokes定理 Γ= V δ r=k
s
r+δ r
σ
δrα r
V
∫s
∫∫σ
× V nδσj i
在x,y平面中任取一长方形，边长δx,δyu+ uδy y v v+δx x
AB边风速u, CD边风速 AD边风速v, CB边风速
yD C
此闭合小四边形的环流为
vA
Γ= uδx+ (v+=(
v uδx)δy (u+δy )δx vδy x yδΓ= δσ
v u )δxδy x y
u
B
x
涡度是单位面积的环流
圆周运动与旋转运动
涡度：流体元旋转强弱的度量，与运动轨迹无关环流：流体某一个有限面积旋转的总趋势流体运动有涡度，并不一定意味着其轨迹一定是曲线。
4.绝对涡度与绝对环流绝对涡度:惯性坐标系中观测到的涡度 ω a= × V+ × r=ω+ × × r=ω+ 2
(
)
(
)
× ( × r )= × ( × R )
MR
= × k× (xi+ yj ) = × ( yi+ xj ) = 2 k z
[
] R= xi+ yj
r
R
yO
x
ω a= × V+ × r=ω+ × × r=ω+ 2 行星涡度
(
)
(
)
相对涡
度分析上式 i) z坐标分量形式: i: w v y z =ξ u w j: + 2 cos =η+ 2 cos z x v u k: + f=ζ+ f x y ζf
ii)相对涡度与牵连涡度的相对大小:对大尺度运动:
~
V= Ro<< 1 fL
行星涡度是主要的
iii)无辐散量
绝对环流:Γa=n
∫(S
V+ × r δr= V δr+
)
∫S
∫(S
× r δr
)
牵连环流
Γ相对环流 ∫ ( × r ) δr=∫∫ × ( × r ) nδσS
=∫∫ 2 nδσ = 2 ∫∫ nδσ = 2 A= 2 A sinφ= 2 Σσσ
σ
Σ
n90
A
Γa=Γ+ 2 sinφA=Γ+ 2 Σ
Σ
第二节环流定理环流：流体某一个有限面积旋转的总趋势
实际问题中，关注流体旋转性强弱随时间的变化主要目的不是计算环线上的环流，而是关心环流随时间变化的动力学关系——环流定理
一、相对环流定理的推导 δrα V
k
s
r+δ r
r
dΓ d = V δ r dt dt s dδ r dΓ dV = δ r+ V dt dt dt
∫
∫s
∫s
j i A’ A B t+δt t B’
物质线变化速度变化δr的这种变化是由于构成δr的流点的速度不同而引起的
气压梯度力、科氏力、重力、摩擦力
∫s
2 2 dδ r V V V = V δV=δ= dt 2 2
∫s
∫s
end
2 V 2
=0start
物质线的变化不会改变环流的大小dΓ= dt
∫s
dV δ r dt
环流的加速度=加速度的环流——Kelvin定理
影响环流的物理因子 dV 1= p 2 × V+ g+ Fr dtρ dΓ 1 = p δ r 2 × V δ r+ g δ r+ Fr δ r dtρ
∫s
∫s
∫s
∫s
气压梯度力科氏力重力摩擦力
