浙江理工大学学报,第23卷,第3期,2006年9月
JournalofZhejiangSci2TechUniversity
Vo.l23,No.3,Sep.t2006
文章编号:167323851(2006)0320321205
基于MATLAB算法的圆柱齿轮减速器优化设计
叶秉良
(浙江理工大学机械与自动控制学院,杭州310018)
摘 要:在系统研究圆柱齿轮减速器优化设计目标函数建立、设计变量选取和约束条件确定的基础上,建立其优化设计数学模型,然后采用MATLAB算法求解该优化问题。优化结果表明采用MATLAB算法求解优化设计问题,不仅算法可靠有效,而且编写程序比较简单,设计效率能够得以提高。该研究方法在解决其他机械优化设计问题时也同样适用。
关键词:MATLAB;圆柱齿轮减速器;优化设计
中图分类号:TH122 文献标识码:A
0 前 言
圆柱齿轮减速器被广泛地应用于各类机械产品和装备中,因此,研究提高其承载能力,延长其使用寿命,减小其体积和质量等问题,具有重要的经济意义。对减速器进行优化设计,选择其最佳参数是提高承载能力、减轻重量和降低成本等各项指标的一种重要途径。本文以单级直齿圆柱齿轮减速器为研究对象,选择其体积最小为优化设计目标,建立优化设计数学模型,并利用MATLAB优化工具箱进行求解。
1 数学模型的建立
1.1 已知参数
图1所示为单级直齿圆柱齿轮减速器的结构简图,现要求在保证承载能力的条件下,以体积最小为目标进行优化设计。已知:输入功率P=280kW,小齿轮转速n1=980r/min,传动比i=5,齿轮的许用接触应力
[R,许用弯曲应力[RF1]=261MPa,[RF2]=213MPa;轴的许用弯曲应力[Rb]=55MPa。配对H]=855MPa
齿轮的结构和各部分尺寸的符号如图2所示(尺寸单位为cm)
。
图1 单级直齿圆柱齿轮减速器的结构简图
收稿日期:2006-03-23
作者简介:叶秉良(1972- ),男,浙江东阳人,硕士,讲师,从事机械设计与制造研究。图2 齿轮结构图
322 浙 江 理 工 大 学 学 报2006年 第23卷
1.2 选取设计变量
如图1所示,由于齿轮和轴的尺寸(即减速器箱体内的零件)是决定减速器体积的依据,所以,根据齿轮几何尺寸和结构尺寸的计算公式,大齿轮采用辐板式,辐板上有四个均布孔,箱体内的齿轮和轴的总体积可近似地表示为:
V=P22P22P2P2(d1-ds1)b1+(d2-ds2)b2+ds1(l1+l2)+ds2(l1+l3)-4444
P22(D2-D1)(b2-c)-Pd2
044
式中各符号如图1所示,取l2=28cm,l3=32cm,并近似取b1=b2=b,则由上式可知,给定传动比i后,减速器体积V取决于b、z1、m、l1、ds1、ds2等6个参数,所以单级标准直齿圆柱齿轮减速器优化设计的设计变量为:
X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[b,z1,m,l1,ds1,ds2]
1.3 建立目标函数
根据齿轮结构设计的经验公式,有:D=5m,D2=d2-2D,D1=1.6ds2,d0=0.25(D2-D1),c=0.2b。参照图1,将经验公式及数据代入公式且用设计变量来表示,可确定目标函数为:
F(x)=0.78539815(4.75x1x2x3+85x1x2x3-85x1x3+0.92x1x6-x1x5+0.8x1x2x3x6-
1.6x1x3x6+x4x5+x4x6+28x5+32x6)ymin
根据下列经验和原则,可确定每个变量的上下限:
a)标准齿轮传动避免发生根切最少齿数zmin=17;
b)根据工艺装备条件,限制大齿轮直径d2不超过150cm,故小齿轮直径d1不应超过30cm;
c)为保证齿轮承载能力同时又避免载荷沿齿宽分布严重不均,要求齿宽系数0.9[7d=b/d1[1.4;d)对传递动力的齿轮,一般模数m\0.2cm,且取标准系列值;
b+2$+0.2ds2;现取箱体内壁到轴承中心线的距离e)根据经验,主、从动轴直径的取值范围为10cm[ds1[15cm,13cm[ds2[20cm;
f)按结构关系,轴的支撑跨距应满足:l1\
$=2cm。
各变量的上下限为:
10[x1[42,17[x2[30,0.2[x3[1,20.5[x4[56,10[x5[
1.4 确定约束条件
a)工艺装备条件
g1(x)=x2x3-30[0
b)齿宽系数条件
g2(x)=0.9-x1/(x2x3)[
g3(x)=x1/(x2x3)-1.4[
c)轴的支撑跨距条件
g4(x)=x1+0.5x6+4-x4[0
d)齿面接触强度条件
g5(x)=RH-[RH][0
式中:接触应力RH=ZEZH上式各参数含义及取值:
K载荷系数,根据题意,可取K=1.3;ZE弹性系数,一对钢质齿轮ZE=189.8
ZH=2.5;T1小齿轮传递的名义转矩,T1=9.55@10P/n1U273000N#cm。
得到: g5(x)=43854/(x2x31)-855[052222222222TT15,13[x6[20001bd1uZH节点区域系数,
第3期
e)齿根弯曲强度条件叶秉良:基于MATLAB算法的圆柱齿轮减速器优化设计323
g6(x)=RF1-[RF1][
齿根弯曲应力RF=2KT1
bd1mYF0;g7(x)=RF2-[RF2][0
上式中YF为齿形系数,计算公式如下:
小齿轮:Y.169+0.006666z1-0.0000854z1F1=0
Y.2824+0.0003539(iz1)-0.000001576(iz1)F2=0
得到:
g6(x)=-261[x1x2x3YF10;g7(x)=-213[0x1x2x3YF222
f)主动轴(即图1所示小齿轮轴)刚度条件
g8(x)=ymax-[y][0
其中:取[y]=0.003l1;而ymax=Fnl1/(48EJ)
式中:Fn)))作用在小齿轮齿面上的法向载荷,单位N;Fn=2T1/(mz1cosA),其中齿轮压力角A=20b;
E)))轴的材料的弹性模量,E=2@10MPa;
44J)))轴的惯性矩,单位为cm,圆截面J=Pds1/64。
由上述可得到满足轴的刚度条件的约束函数为:
g8(x)=0.01233x4/(x2x3x5)-0.003x4[
g)轴的弯曲强度条件
轴的弯曲应力:Rb=+(AcT)/W3530 g9(x)=Rb1-[Rb][0;g10(x)=Rb2-[Rb][0
式中:T)))轴所受的扭矩,单位N#cm,小齿轮轴T=T1,大齿轮轴TU5T1;
M)))轴所受的弯矩,单位N#cm,M=Fnl1/2=T1l1/(mz1cosA)=290500l1/(mz1);
Ac)))考虑扭矩性质而定的应力校正系数,这里Ac=0.59;
33W)))轴的抗弯剖面系数,小齿轮轴W1=0.1ds1,W2=0.1ds2。
由此,可得到小齿轮轴和大齿轮轴满足弯曲强度条件的约束函数:
g9(x)=29050x4 g10(x)=29050x41+0.29709x2x3/x4/(x2x3x5)-55[0;1+7.42727x2x3/x4/(x2x3x6)-55[033
2 MATLAB优化理论和程序
MATLAB是由美国Mathwork公司开发,集强大的科学计算、数据可视化和程序设计为一体的科技应用软件,分总包和若干工具箱,包括信号处理、图像处理、小波分析、系统识别、通信仿真、模糊控制、神经网络、工程优化、统计分析等现代工程技术学科内容。其中优化工具箱含有一系列的优化算法函数,可方便、快捷地解决线性、非线性极小值,非线性系统的方程求解,曲线拟合,二次规划,大规模优化等工程实际问题。
机械优化设计多数是非线性约束最小化问题,早期常见方法是通过构造惩罚函数将有约束的最优化问题转化为无约束最优化问题后,再利用Powell(鲍威尔)法进行求解。而在MATLAB中,采用序列二次规划法(SQP法)进行优化,算法可靠,不用编写大量的算法程序,提高了设计效率。SQP法的实现主要分三步:
a)拉格朗日函数Hessian矩阵的更新;
b)二次规划问题的求解;c)一维搜索和目标函数的计算。
非线性多变量约束优化问题可描述如下:
minf(x)
s..tA(x)[b(线性不等式约束)
Aeq=beq(线性等式约束)
C(x)[0(非线性不等式约束)
Ceq(x)=0(非线性等式约束)
1b[x[ub(变量上下限)
调用fmincon函数实现求解约束优化问题。
mincon函数的调用格式:[xf,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,)根据减速箱优化设计数学模型建立过程,运用上述优化理论,可得:
Aeq=beq=Ceq=0,lb=[10,17,0.2,20.5,10,13],ub=[42,30,1,56,15,20]
A=[1,0,0,-1,0,0.5],b=[-4]
mincon用到的2个函数定义如下:f
functionf=GearBoxFunct(x)
f=0.78539815*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x
(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)
function[C,Ceq]=GearBoxConstr(x)
C(1)=x(2)*x(3)-30;
C(2)=0.9-x(1)/(x(2)*x(3));
C(3)=x(1)/(x(2)*x(3))-1.4;
C(4)=43854/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-855;
C(5)=7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-261; C(6)=7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-213; C(7)=0.01233*x(4)^3/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-0.003*x(4);
C(8)=29050*x(4)*sqrt(1+0.29709*x(2)^2*x(3)^2/x(4)^2)/(x(2)*x(3)*x(5)^3)-55;
C(9)=29050*x(4)*sqrt(1+7.42727*x(2)^2*x(3)^2/x(4)^2)/(x(2)*x(3)*x(6)^3)-55;
Ceq=[];
所编程序为:
x0=[14,21,0.65,25,12,14];%传统方法设计值
lb=[10,17,0.2,20.5,10,13];
ub=[42,30,1,56,15,20];
A=zeros(1,6);
A(1,1)=1;A(1,4)=-1;A(1,6)=0.5;
b=[-4]c;
options=optimset(cLargeScalec,coffc);
[x,fval]=fmincon(cGearBoxFunctc,x0,A,b,[],[],lb,ub,ÄGearBoxConstrÄ,options)
执行结果为:
[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[12.8684,23.8576,0.5993,23.3684,10.0000,13.0000]
fval=3.0189@10cm
化与圆整,得到最终解为:
[x1,x2,x3,x4,x5,x6]=[13,24,0.6,23.5,10,13]
fval=3.0622@10cm4343因齿轮模数m应为标准值,齿数z1应为整数,其他参数一般也应适当圆整,所以上述最优解必须经标准
3 结 论
通过对单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计可以得出以下结论:
a)采用传统方法设计的减速器体积为3.4318@10cm,而采用优化方法设计的减速器体积为3.0622@4310cm,比原方案的体积减小了10.8%,从而减轻了减速器的重量。
b)应用MATLAB优化工具箱求解优化问题,不需编写大量算法程序,提高了设计效率,获得良好的优化结果。
参考文献:
[1]飞思科技产品研发中心.MATLAB6.5辅助优化计算与设计[M].北京:电子工业出版社,2003.
[2]徐锦康,吕慧瑛,刘极峰.机械优化设计[M].北京:机械工业出版社,1995.
[3]周 济.机械设计优化方法及应用[M].北京:高等教育出版社,1989.
[4]濮良贵,纪名刚.机械设计[M].6版北京:高等教育出版社,1999.43
OptmiumDesignofCylindricalGearboxBasedonMATLAB
YEBing2liang
(CollegeofMachineryandAutomation,ZhejiangSci2TechUniversity,Hangzhou310018,China)
Abstrac:tInthispaper,afterestablishmentoftargetfunction,choiceofparametersandconfirmationofcon2straintconditionsofthecylindricalgearboxaresystematicallystudied,itsoptimummathematicalmodelissetup.AndtheMATLABarithmeticisusedtosolvetheoptimumissue.TheresultshowsthatbyusingtheMATLABarith2metic,themechanicaldesignefficiencycanbeimprovedbecausenotonlythearithmeticisreliableandeffective,butalsotheprogramdesignedissimple.Thisstudycanalsobeusedtosolveoptimumdesignissuesoftheothermechanism.
Keywords:MATLAB;Cylindricalgearbox;Optimumdesign
(责任编辑:杨元兆)
