弹性力学考试试题
1．最小势能原理等价于弹性力学方程中：方程和 边界条件。 2．将平面应力情况下物理方程中的E、 分别换成
E1
2
、
1
，
即得到平面应变情况下的物理方程。
3．等截面直杆扭转问题中， 2 dxdy M的物理意义是 。
D
4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数 及
在边界上值的物理意义,
x y
分别是 面力对某一点的矩 ， 面力的主矢量（合力投影） 。 5．对无限大多连体，解析函数 1(z), 1(z)中常数B,B iC 的物理意义为：
1．试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。 圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。 圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。 2．材料的泊松比为 ，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，0
12
。
证明：
（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：
1 2
E
因为， 0，E 0， 0 ，所以有：1 2 0，即
12
（2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：
因为，物体发生横向收缩变形，应有： 0。考虑到拉伸轴向应变 0，由上
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式可得
0
综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比 ，有
0
12
3．下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量，试判断它们是否可能。 （1）
x
C1x C2y,
2
2
y
C3x C4y, xy C4x C1y；
xy
（2） x C(x y), y Cy2, 解：（1）
2Cxy。
判断应力分量是否满足平衡微分方程： 计算：
x
x
C1，
xy
y
C1，
y
y
C4，
xy
x
C4
代入平衡微分方程（设无体力），有
x
x
xy
y
C1 C1 0，
xy
x
y
y
C4 C4 0
可见满足平衡微分方程。 判断应力分量是否满足相容方程： 计算：
22
x
22
y
(C1 C3)x (C2 C4)y
(
x
y
)(
x
y) (
22
x
22
y
) (C1 C3)x (C2 C4)y 0
可见满足相容方程。
综合以上判别得：所给应力分量为一组可能应力分量。 （2）
判断应力分量是否满足变形协调方程： 计算：
x y
22
22
y
C(x
2
y) 2C，
2
x
2
2
y
22
x
Cy 0，
2
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2
xy
x y
2
x y
(2Cxy) 2C
2
2
将其代入变形协调方程：
x y
2
2
x
2
y
xy
x y
，显然有：
2C 2C
满足变形协调方程，表明所给应变分量一组可能的应变分量。
1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。 （13分）
题三（1）图
解： d很小， M Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。
其应力函数 (r, )可取为：
(r, ) Asin2 B
将应力函数 (r, )代入应力分量公式，可求得应力分量：
1 1 4
； 2 Asin2 0； 222
r rr r r
2
2
r
1
r 1 2(2Acos2 B)
r r r
边界条件：
（1）
0
r 0
0, r
0
r 0
0；
2r 0
0, r
2
r 0
0
代入应力分量式，有
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1r
2
( 2A B) 0 或 B 2A （1）
（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有： r, r ，和M = Pd
由该脱离体的平衡，得
将 r 代入并积分，有
2
r rd M 0
2
2
2 2
1r
2
(2Acos2 B)rd M 0
2
Asin2 B
2
2
M 0 得 B M 0 （2）
联立式（1）、（2）求得：
B
M
Pd
，A Pd
2
2
代入应力分量式，得
Pdcos 2Pdsin2 ； ； 。 0 r 22
r r
r
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。 2．图示顶角为 的楔形体，下端无限长，受水平方向的常体力作用，设单位体积的水平力为p，试用纯三次多项式为应力函数 求其应力分量。 （12分）
题三（2）图
解：由题意，取应力函数为
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(x,y) ax bxy cxy
322
dy （1）
3
计算应力分量：
y
222
x
2cx 6dy
y
x
2
py 6ax 2by py （2）
2
xy
x y
2bx 2cy
边界条件1：
yy 0
0， xy
y 0
0 （3）
将式（2）代入得：
6
ax
2bx 0，
解得：a 0,b 0。式（2）变为：
y
222
x
2cx 6dy
y
x
2
py py （4）
2
xy
x y
2cy
考察边界条件（y xtan ）：
l( x)s m( l(
xy
)s 0
xy
)s m( y)s 0
其中：l cos(N,x) sin ，m cos(N,y) cos 。将上式及式（4）代入，有
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sin (2cx 6dy) cos ( 2cy) 0
sin ( 2cy) cos ( py) 0
（5）
将y xtan 代入解得： 2c pcot d
p3
cot
2
将上述结果代入式（4），得
x
pcot (x 2ycot )
py （6）
y
xy pcot y
3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试求： （1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；
（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz法求梁
挠度（w）的近似解（取1项待定系数）。 （13分）
题三（3）图
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
w(x) x(A1 A2x A3x ) —— 多项式函数形式
n2
2
w(x)
m 1
Am(1 cos
(2m 1) x
l
) —— 三角函数形式
此时有：
w(x) x(A1 A2x A3x )
2
2
x 0
0
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w (x) 2x(A1 A2x A3x ) x(A2 A3x )
n
22
x 0
0
w(x)
m 1n
Am(1 cos
(2m 1) x
l
)
x 0
0
w (x)
m 1
Am
l(2m 1)
sin
(2m 1) x
l
x 0
0
即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为
Π
12
l
d2wEI dx2
dx
2
l
qw(x)dx
12
k w(l)
2
取：w(x) A1x，有
dwdx
22
2
2A1，w(l) A1l
2
代入总势能计算式，有
Π
1
2
l
EI(2A1)dx
qA13
2
l
qxA1dx
2
12
k(A1l)
22
2EIlA
2
1
l
3
12
kA1l
24
由 Π 0，有
4EIlA1 kA1l
4
q3
l
3
0
A1
q0l
3
4
3(4EIl kl)
代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
w(x)
q0l
2
3
3(4EI kl)
x
x
2
4．已知受力物体内某一点的应力分量为： 0，
y
2MPa，
z
1MPa，
xy 1MPa， yz 0， zx 2MPa，试求经过该点的平面x 3y z 1上的
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正应力与剪应力。 （12分） 解：由平面方程x 3y z 1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
1 3 1
2
2
2
l
1，m
3 3 1
2
2
2
3，n
1 3 1
2
2
2
1
ij
0 1 2
120
2
0， L 1
1 l
m n 1 1
3 1 0 1 1 2
120
2 1
10 3
1 1
N
L L
T 1
3
5
7
1
29 1
3 3 2.64 MPa
11 1 11
N 2 XN
l
2
YN
2
ZN 2 N 2
2
x
m xy n zx
l xy m
y
n
yz
2
l xz m zy n
2
2
z
2
(
2
N
)
2
5 7 3 72 29
11121
2
N
72121
7211
6211
0.77MPa
