automatic control自动控制原理 答案 北京工业大学出版社
第2章习题及解答
2－1 已知电网络如题图所示，输入为ui(t)，输出为uo
(t)，试列写微分方程。
(b)
习题2－1
(a)
题解： （1）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为
R1i1(t)+R2i(t)=
ui(t)
i1(t)+i2(t)=i(t)
1R1i1(t) ∫i2(t)dt=0 C
R2i(t)=uo(t)
化简，消去中间变量i1(t),i2(t),i(t)得到输出变量为uo(t)，输入变量为ui(t)的微
R1R2C
duo(t)du(t)
+(R1+R2)uo(t)=R1R2Ci+R2ui(t) dtdt
分方程为
可简写为
R1R2Cuo(t)+(R1+R2)uo(t)=R1R2Cui(t)+R2ui(t)
（2）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为
1
i1(t)dt=ui(t)
∫C
i1(t)+i2(t)=i(t) di(t)1
L2+R2i2(t)=∫i1(t)dt
dtCR2i2(t)=uo(t) R1i(t)+
分方程为
化简，消去中间变量i1(t),i2(t),i(t)得到输出变量为uo(t)，输入变量为ui(t)的微
R1LCuo(t)+(L+R1R2C)uo(t)+(R1+R2)uo(t)=R2ui(t)
解毕。
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.(1 cos5t) （a） f(t)=05
由定义或者查表
1s12.5
F(s)=0.5( 2=
ss+25s(s2+25)
0.2t
cos314t （b）f(t)=e
由于
L[cos314t]=
应用拉氏变换的衰减定理有
s
s2+3142
F(s)=
s+0.2s+0.2
=
(s+0.2)2+3142s2+0.4s+(3142+0.22)
（c）f(t)=sin(5t+由于
π
3
sin(5t+
所以
π
3
)=cos
π
3
sin5t+sin
π
3
cos5t=
1sin5t+cos5t 22
F(s)=
（d）f(t)=t e由于
2
3t
15s0.866s+2.5
2+ =
2s+522s2+52s2+25
L[t2]=
应用拉氏变换的衰减定理有
2!
3s
F(s)=
解毕。
MATLAB语言求解
.(1 cos5t) （a） f(t)=05
syms t
f=0.5*(1-cos(5*t)); F=laplace(f) F =
1/2/s-1/2*s/(s^2+25)
2
3
(s+3)
cos314t （b）f(t)=e
syms t
f=exp(-0.2*t)*cos(314*t); F=laplace(f) F =
(s+1/5)/((s+1/5)^2+98596)
0.2t
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2－4 求出题图所示时间信号f(t)的拉氏变换F(s)
。
f(tt
题解：
（a）
f(t
f(t
（b）
习题2－4
（c）
（a） 由于信号f(t)可以分解为信号的组合如图所示，
1
s2
1
f2(t)= (t t0) 1(t t0) →F2(s)= 2 e t0s
s
1 ts
f3(t)= t0 1(t t0) →F3(s)= t0 e0
s
f1(t)=t 1(t)
→F1(s)=
所以拉氏变换为
11 t0s1 t0s1 e t0s(1+t0s)
F(s)=F1(s)+F2(s)+F3(s)=2 2 e t0 e= 2
ssss
（b） 由于信号f(t)可以分解为信号的组合如图所示，
f(t)AAω
f1(t)=Asinωt → ()Fs=1
s2+ω2
π
sAωπω
e f2(t)=sinωt 1(t →F2(s)=2
s+ω2ω
sAωω
F(s)=F1(s)+F2(s)=2 (1+e) 2
s+ω
（c） 由于信号f(t)为周期信号，第一周期的信号如图所示，
所以拉氏变换为
π
其拉氏变换为
M2M ηTsM TsM
F1(s)= e+e=(1 2e ηTs+e Ts)
ssss
已知F1(s)，则周期信号的拉氏变换为
1
F1(s) F(s)= Ts
1 e
所以占空比为η的方波脉冲信号的拉氏变换为
f(t)
1M1 2e ηTs+e Ts
F(s)= F1(s)= Ts
s1 e1 e Ts
解毕。
2－5 已知下列拉氏变换F(s)，求出时间表达式f(t)，并画出曲线草图。
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2－6 用拉氏变换法求解下式微分方程。
（a）2c+7c+5c=r，r=R 1(t)，c(0)=0,c(0)=0 （b）2c+7c+5c=0，c(0)=c0，c(0)=c0 题解：
（a）2c+7c+5c=r，r=R 1(t)，c(0)=0,c(0)=0 将方程两边作拉氏变换
L[2c+7c+5c]=L[r]
由拉氏变换的线性定理有
L[2c]+L[7c]+L[5c]=L[r]
由拉氏变换的微分定理有
2[sC(s) sc(0) c(0)]+7[sC(s) c(0)]+5C(s)=R(s)
1
将初值c(0)=0,c(0)=0及输入信号的拉氏变换R(s)=L[R 1(t)]=R 代入上式
s
1
2s2C(s)+7sC(s)+5C(s)=R
s
有输出信号的拉氏变换为
2
C(s)=
作拉氏反变换解得
11111121
R=R [ + ] 2
2s+7s+5s5s3s+115s+2.5
112
c(t)=R [ 1(t) e t+ e 2.5t]
5315
（b）2c+7c+5c=0，c(0)=c0，c(0)=c0
本题为齐次方程求解，初始条件不为零而输入信号为零。
将方程两边作拉氏变换
L[2c+7c+5c]=0
由拉氏变换的微分定理有
2[sC(s) sc(0) c(0)]+7[sC(s) c(0)]+5C(s)=0
将初值c(0)=c0，c(0)=c0代入上式
2
2sC(s) 2sc0 2c0+7sC(s) 7c0+5C(s)=0
整理有
2
[2s+7s+5]C(s)=2c0s+(2c0+7c0)
方程解的拉氏变换为
2
C(s)=
2c0s+(2c0+7c0)
2
2s+7s+5
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（b）应用复数阻抗法，计算反馈复数阻抗，由于
R3
Uo(s)R3Cs+11
=If(s)
333
R5(R2+)R5+(R2+R2+
R3Cs+1R3Cs+1R3Cs+1
R4+
3
R5+(R2+)
R3Cs+1
R5(R2+
则反馈复数阻抗为
R2R3
Cs+1
Uo(s)(R2+R3)(R4+R5)R2+R3
= +R4 Zf(s)=
If(s)R5R3Cs+1
输入阻抗为Zi(s)=R1，将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为
R2R3
Cs+1
Zf(s)Uo(s)(R2+R3)(R4+R5)R2+R3R
G(s)== = [ +4
Ui(s)Zi(s)R1R5R3Cs+1R1
解毕。
2－8 力学系统如图所示，试写出系统的微分方程，并求取传递函数。
k1k2
m
F(t)
x(t)yo
(a) (b)
习题2－8
题解：
（a）忽略重力，应用牛顿第二定律ma=
∑F，写出运动平衡方程为
ma=Fk1+Fk2+F(t)
d2x
其中Fk2= k2x，Fk1= k1x，而a=2，均代入平衡方程得
dtd2x
m2= k1x k2x+F(t) dtd2x
整理，得到微分方程为 m2+(k1+k2)x=F(t)
dt
X(s)1
传递函数为 G(s)==
F(s)ms2+(k1+k2)
解毕。
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由梅逊公式化简该结构图 共有3个前向通路
p1=R2C1s，p2=
共有3个独立回路
C11，p3= C2R1C2sC11
，L3= C2R1C2sR2C1
R1C2
C1RC1++21 C2R1C2sR1C2
L1= R2C1s，L2=
不相接触回路
L1L3=
特征式
Δ=1 (L1+L2+L3)+L1L3=1+R2C1s+
余子式
Δ1=1+L3=1+
传递函数为
1
，Δ2=1，Δ3=1 R1C2s
1C1)+1+
R1C2sC2R1C2spΔ+p2Δ2+p3Δ3
= G(s)=11
121Δ1+R2C1s+++
C2R1C2sR1C2
R2C1s(1+
R1R2C1C2s2+(R1C1+R2C1)s+1
=
R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C1)s+1
（b）设电阻R2的电位为ux，得到如下算子方程组
ui
ux
=iR1 R1ui uo
=iC1 1C1s
iR1+iC1=i
R2i=ux
1ux+iR1=uo
C2s
依照方程组的变量关系得到结构图如图所示。 由梅逊公式化简该结构图 共有3个前向通路
p1=
R1
，p2=2，p3=R2C1s R1C2sR1
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2－11 题图所示的力学测量系统原理，在满足相应要求的条件下，可以用于地震测量，也可以用于测量物体的加速度，位移量 y(t) 和 y0 (t) 均为相对于惯性空间的位移。
y0
y
mf
k
习题2－11
（a）试写出以 y(t) 为输出量，以 y0 (t) 为输入量的传递函数。 （b）试写出用于地震测量的传递函数。 （c）试写出用于加速度测量的传递函数。 题解：
（a）忽略重力，应用加速度第二定律ma=
∑F，写出运动平衡方程为
d2ydydym2= k(y y0) f( 0 dtdtdt
则传递函数为
G(s)=
Y(s)fs+k
=2
Y0(s)ms+fs+k
（b）由于位移量 y(t) 和 y0 (t) 均为相对于惯性空间的位移，可测量为yk=y y0，
即质量m相对于壳体的位移，则有y=yk+y0，代入基本方程有
d2ykd2y0dy
m(2+2= kyk fk
dtdtdt
整理
d2ykdykd2y0m2+f+kyk= m2 dtdtdt
相应传递函数为
Yk(s)s2G(s)==
Y0(s)s2+s+mm
即可用于地震测量，一般质量m做得较大。
d2y02
（c）由于壳体的位移为y0，其加速度为，拉氏变换为sY0(s)，则有可测量2
dt
G(s)=
1Yk(s)
= 2
kfsY0(s)s2+s+mm
与加速度的传递关系为
即可用于加速度测量，一般质量m做得较小。
解毕。
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没有互不接触回路，且各回路都与各前向通路相接触，故由梅逊公式写出传递函数为
G(s)=
p1+p2+p3+p4+p5+p6
1 (L1+L4+L3)Ks+K4K3s+K4KK(Ks+K4)K2
+ 3++1+21+133
=1 =
411+2+133+2
sss
解毕。
2－13 分别用等价变换法与梅逊公式法化简图示各系统的结构图。
(b)
(a)
(c)
(d)
习题2－13
题解：
（a）等价变换法
前向通路化简：由叠加原理有
Go1(s)=
G1(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)
，Go2(s)=
1+G1(s)G2(s)H1(s)1+G1(s)G2(s)H1(s)
G1(s)G4(s)+G1(s)G2(s)G3(s)
1+G1(s)G2(s)H1(s)
前向通路传递函数为
Go(s)=Go1(s)+Go2(s)=
闭环传递函数为
G(s)=
=
Go(s)
1+Go(s)H2(s)
G1(s)G4(s)+G1(s)G2(s)G3(s)
1+G1(s)G2(s)H1(s)+G1(s)G4(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)H2(s)
梅逊公式法 前向通路2个 独立回路3个
p1=G1(s)G4(s)，p2=G1(s)G2(s)G3(s)
L1= G1(s)G2(s)H1(s)，L2= G1(s)G2(s)G3(s)H2(s)
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相加点易位如图
环节并联化简与回路化简
传递函数为
G(s)=
梅逊公式法 前向通路2个 独立回路1个 特征式
G1(s)+G2(s)
1+G2(s)H(s)
余子式 传递函数为
p1=G1(s)，p2=G2(s) L= G2(s)H(s)
Δ=1 L=1+G2(s)H(s) Δ1=1,Δ2=1
G(s)=
p1Δ1+p2Δ2
=
G1(s)+G2(s)
1+G2(s)H(s)
Δ
（d）等效变换法 化简反馈通路得到
传递函数为
Gc(s)=
梅逊公式法
前向通路1个 独立回路2个 特征式 余子式 传递函数为
G(s)G(s)[1 H(s)]
=
H(s)1+G(s)H(s) H(s)1+G(s)
1 H(s)
p=G(s)
L1= G(s)H(s)，L2=H(s)
Δ=1 L1 L2=1+G(s)H(s) H(s) Δ=1 H(s)
G(s)=
解毕。
pΔ
Δ
=
G(s)[1 H(s)]
1+G(s)H(s) H(s)
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传递函数为
G(s)=
p1+p2+p3+p4
1 L1 L2 L3
G(s)+G1(s)G2(s)+G1(s) G1(s)G2(s)+G1(s)G2(s)
=2=
1+G1(s)+G1(s)G2(s)+G1(s)1+2G1(s)+G1(s)G2(s)
解毕。
2－15 写出题图所示系统的输出表达式C(s)。
习题2－15
题解：
该题为多信号输入系统，可以应用叠加原理得到系统的输出。系统的输出为
C(s)=CR(s)+CN1(s)+CN2(s)+CN3(s)
N1(s)=0 R(s) N2(s)=0N3(s)=0
CR(s)=GR(s)
GR(s)=
G1(s)G2(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
CN1(s)=GN1(s)
R(s)=0N2(s)=0N3(s)=0
N1(s) GN1(s)=
G2(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
CN2(s)=GN2(s)
R(s)=0N1(s)=0N3(s)=0
N2(s) GN2(s)=
G2(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
CN3(s)=GN3(s)
R(s)=0N1(s)=0N2(s)=0
N3(s) GN3(s)=
G1(s)G2(s)H2(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
C(s)=
G1(s)G2(s)G2(s)
R(s)+N1(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
+
G1(s)G2(s)H2(s)G2(s)
N3(s)N2(s)
1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)1+G2(s)H1(s)+G1(s)G2(s)H2(s)
解毕。
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步骤4：结构图成为
再作一次回路化简得到
2.5
Go(s)2.5
G(s)===
1+Go(s)1+s+5
s+2.5
解毕。 2－17 已知系统在算子域的代数方程组描述如下，试画出系统的结构图，并化简求取传递函数。
X1(s)=G1(s)R(s) G1(s)[G7(s) G8(s)]C(s)
X2(s)=G2(s)[X1(s) G6(s)X3(s)]
X3(s)=G3(s)[X2(s) G5(s)C(s)]
C(s)=G4(s)X3(s)
题解： 根据算子方程作结构图如图所示
应用梅逊公式计算传递函数
p=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) L1= G2(s)G3(s)G6(s) L2= G3(s)G4(s)G5(s) L3= G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)[G7(s) G8(s)]
p
G(s)=
1 L1 L2 L3
G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)
=
1+G2(s)G3(s)G6(s)+G3(s)G4(s)G5(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)[G7(s) G8(s)]
解毕。
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3－2 已知某检测元件响应特性为
G(s)=
为了将响应时间减小至原来的0.1倍，并保证原增益不变，采用负反馈方法来实现如题图所示，
100.2s+1
试计算图中各增益的值Kf、Kh。
习题3－2
题解：
结构图传递函数为
KhG(s)10KhC(s)==
R(s)1+KfG(s)1+10Kf
令增益不变，响应加快10倍，有
1
0.2
s+1
1+10Kf
10
0.02s+1
10Kh1+10Kf
得到方程
10.2
s+1
1+10Kf
=
10Kh
1+10K=10 f
0.2
=0.021+
10K f
解出
Kf=0.9,Kh=10
MATLAB仿真程序 t=0:0.001:1; num1=[10]; den1=[0.2 1]; num2=[10]; den2=[0.02 1];
[y1,x1]=step(num1,den1,t); [y2,x2]=step(num2,den2,t); subplot(2,1,1);plot(t,y1); subplot(2,1,2);plot(t,y2); 仿真曲线如图所示， 解毕。
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（c）s5+6s4+3s3+2s2+s+1=0
432
（d）s+8s+18s+16s+5=0 题解： （a）s3+20s2+9s+200=0 作劳斯表 s3 1 9
2
20 200 s 1
s -1
s0 200
第一列系数不全为正，系统不稳定。变号两次，有两个不稳定根。 （b）(s+2)(s+4)(s2+6s+25)+666.25=0 写出多项式为
3－4 已知系统的闭环特征方程如下，试用代数稳定性判据判别系统的稳定性。
（a）s3+20s2+9s+200=0
（b）(s+2)(s+4)(s2+6s+25)+666.25=0
s4+12s3+69s2+198s+866.25=0
作劳斯表 s4 1 69 866.25
3
12 198 s 2
52.5 866.25 s 1
s 0 s0 866.25
第一列系数有0出现，系统为临界稳定。 （c）s5+6s4+3s3+2s2+s+1=0
作劳斯表 s5 1 3 1
4
6 2 1 s 3
2.67 0.83 s 2
0.13 1 s 1
s -19.7 s0 1
第一列系数不全为正，系统不稳定。变号两次，有两个不稳定根。 （d）s4+8s3+18s2+16s+5=0
作劳斯表 s4 1 18 5
3
8 16 s 2
16 5 s 1
s 13.5 s0 5
第一列系数全部大于零，系统稳定。
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3－5 实验测得单位反馈控制系统在输入信号为r(t)=1(t)时，其输出信号c(t)的响应曲线如题图所示，试确定系统的开环传递函数。
习题3－5
题解：
由图所示，超调量Mp=30%，
峰值时间tp=0.1 秒，由性能指标计算公式
ζ
1 ζ2
Mp=e
解出
×100%，tp=
πωn ζ
2
ζ=0.358
ω=33.65 n
得到系统的开环传递函数为
ωn21132.3
G(s)==
s(s+2ζωn)s(s+24.1)
解毕。 3－6 题图所示机械系统，当受到F=40N力的作用时，位移量x(t)的阶跃响应如图所示，试确定机械系统的参数m，k，f的值。
Fi
mf
k
x
习题3－6
题解：
图示机械系统的传递函数为
G(s)=
由图所示稳态值c(∞)=1，由终值定理
1
ms2+fs+k
14040
==1 2
ms+fs+ksk
c(∞)=limsC(s)=limsG(s)R(s)=lims
s→0
s→0
s→0
得到
k=40N/m
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3－8 试确定题图所示系统参数K和ζ的稳定域。
习题3－8
题解：
闭环传递函数为
Gc(s)=
闭环特征方程为
K
0.01s3+0.2ζs2+s+K
0.01s3+0.2ζs2+s+K=0
由劳斯判据，作劳斯表 s3 0.01 1
2
K s 0.2ζ
1
s 0.2ζ-0.01K
s0 K 令第一列系数全部大于零，解出
ζ>0
<<0K20ζ
MATLAB程序 取ζ＝0.5，则K<10，系统是稳定的。取K=10， den=[0.01 0.1 1 10];
roots(den)
ans =
-10.0000
0.0000 +10.0000i
0.0000 -10.0000i K=10时，系统的两个闭环极点为临界稳定值。
解毕。
如果要求闭环系统的特征根全部位于s平面上虚 3－9 反馈控制系统如题图所示，
轴的左面，试确定参数K的取值范围。
习题3－9
题解：
闭环传递函数为
Gc(s)=
闭环特征方程为
K
32
0.02s+0.3s+s+K
0.02s3+0.3s2+s+K=0
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3－11 题图所示系统，如果要求系统作等幅振荡，确定系统参数K、α 的值和振荡频率ω。
习题3－11
题解：
闭环传递函数为
Gc(s)=
闭环特征方程为
K(s+1)
s3+αs2+(2+K)s+(1+K)
s3+αs2+(2+K)s+(1+K)
=0
由劳斯判据，作劳斯表 s3 1 2+K
2
α 1+K s
α(2+K) (1+K)
s1
α
s0 1+K
令α>0，1+K>0以及 α(2+K)-(1+K)=0，解出 0 < α < 1 K>-1
K
=
2α 1
1 α
满足上述条件时系统的时间响应为等幅振荡型。其关系曲线如图所示。 代入特征方程解出振荡频率为
ω=
1 1 α
MATLAB仿真程序 令α=0.8时，有K=3，ω=2.236
num=[3 3];
den=[1 0.799 5 4];
impulse(num,den); 单位脉冲响应曲线; roots(den) 求特征值; ans = 0.0000 + 2.2361i 等幅振荡频率ω=2.236; 0.0000 - 2.2361i -0.8000
仿真曲线如图所示。 系统另外有一个单根分量，在t>5秒之后，该分量衰减至零，系统为等幅振荡运动。 解毕。
