22
A1C221＋A1B1－B1C1
因此cos∠C1A1B1＝＝.
2A1C1·A1B13
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
2
. 3
(2)连接AC1，易知AC1＝B1C1，又由于AA1＝B1A1，A1C1＝A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A－A1C1－B1的平面角．
在Rt△A1RB1中，B1R＝A1B1·sin∠RA1B1＝22·?2?2
1－??＝?3?
214
.连接AB1，在△ARB1中，AB1＝4，AR＝B1R，cos∠ARB1＝3
AR2＋B1R2－AB22351
＝－，从而sin∠ARB1＝.
2AR·B1R77
35所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
7
(3)因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1，取HB1中点D，连15
接ND.由于N是棱B1C1的中点，所以ND∥C1H且ND＝C1H＝.22又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1.又MN∩ND＝N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则ME⊥A1B1，故ME∥AA1.
2DEB1EB1D1
由＝＝＝，得DE＝B1E＝，延长EM交AB于点AA1B1A1B1A42F，可得BF＝B1E＝2
，连接NE.在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND22
ND2522
＝DE·DM，所以DM＝DE＝，可得FM＝，连接BM，在Rt
44△BFM中，
BM＝FM2＋BF2＝
10. 4
12．(13分)(2011·上海)已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A－B1D1
－A1的大小为β.求证：tanβ＝2tanα；
4(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1
3的高．
解：设正四棱柱的高为h.
(1)证明：连接AO1，AA1⊥底面A1B1C1D1于A1，∴AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1＝α.∵AB1＝AD1，O1为B1D1中点，
∴AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，
∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的平面角，即∠AO1A1＝β
AA1AA1∴tanα＝＝h，tanβ＝＝2h＝2tanα.
A1B1A1O1
(2)建立如图空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)
AB→(1,0，－h)，AD→→
1＝1＝(0,1，－h)，AC＝(1,1,0) 设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)， ?n⊥AB→?∵?
1
??
n·AB→1＝0，
?n⊥AD→1
?n·AD→1＝0
即z＝1，得n＝(h，h,1)
∴点C到平面AB|n·AC→
|h＋h＋04
1D1的距离为d＝|n|＝h2＋h2＋1＝3，则＝2.
h
