高考专题训练七 空间向量与立体几何
班级_______ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1
→→
的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )
1
A. 92
C.5 9
4B.5 92D. 3
解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，
?1??1?
设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M?1，0，2?，D1(0,0,1)，N?1，1，2?，
?
?
?
?
1－4→?1?→?1?→→
∴CM＝?1，－1，2?，D1N＝?1，1，－2?，∴cos〈CM，D1N〉＝
33????
×221＝－，
9
→→45
∴sin〈CM，D1N〉＝.故选B.
9答案：B
2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
2A. 3
3B. 3
C.
6 3
D．1
→2→→→2
解析：由AB＝(AC＋CD＋DB)
→→→→→→→→→＝AC2＋CD2＋DB2＋2AC·CD＋2AC·DB＋2CD·DB →2
＝1＋|CD|＋1，所以|CD|＝2.
过D作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，DE即为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2＝3，∴BC＝3.DE·BC＝6BD·CD，∴DE＝. 3
答案：C
3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
1A. 5C.5 5
2B. 525D. 5
解析：以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得
?1??11?
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D?2，0，0?，E?2，2，0?，
????
?1??F0，2，1?， ??
→→?1?→?11?
∴AP＝(0,0,2)，DE＝?0，2，0?，DF＝?－2，2，1?，设面DEF
?
?
?
?
→?n·DE＝0，
的法向量为n＝(x，y，z)，则由?
→?n·DF＝0
??y＝0，
得?取z＝1，?x＝2z，?
→
|PA·n|5
则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝＝，→5|PA||n|5
∴PA与平面DEF所成角为arcsin，故选C.
5
答案：C
4．如图所示，AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为( )
π
A. 6
πB. 4
π
C. 3πD. 2
解析：如图，设底面中心为O，在对角面ADC1B1中，取AB1的中点为T，TD∥PQ，从而TD与AC1所成的角为所求．由相似可得π
∠AMD＝，故选D.
2
答案：D
5．如下图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是( )
6A.a 3C.3a 4
3B.a 6D.6a 6
解析：A到面MBD的距离由等积变形可得． 6
VA－MBD＝VB－AMD.易求d＝a.
6答案：D
6．已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( )
A．1条 C．3条
B．2条 D．4条
解析：如右图，过P作α、β的垂线PC、PD，其确定的平面与棱l交于Q，过P的直线与α、β分别交于A、B两点，若二面角为80°，AB与平面α、β成30°，则∠CPD＝100°，AB与PD、PC成60°，因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成角为60°的直线有几条．∵100°80°<60°，<60°，∴这样的直线有4条． 22
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
7．(2011·全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
解析：如图，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
设正方体的边长为3.
