∴A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2) →→
∴AE＝(0,3,1)，AF＝(－3,3,2)
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， →?n⊥AE
∴?
→?n⊥AF
??3y＋z＝0?? ??－3x＋3y＋2z＝0
令y＝1，∴z＝－3，x＝－1，∴n＝(－1,1，－3)
→
又DD1＝(0,0,3)为面ABC的一个法向量，设平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ
?－3×3?→3
?＝∴cosθ＝|cos〈n，DD1〉|＝? 3·1111??
2
∴sinθ＝1－cosθ＝
11
2sinθ2
∴tanθ＝＝. cosθ3答案：
2 3
8．已知l1，l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB＝4，BC＝12，DF＝10，又l1与α成30°角，则β与γ间的距离是________；DE＝
________.
解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与ABDE
γ间距离为6.由面面平行的性质定理可得BC＝EF，∴4DEDE
，即＝.∴DE＝2.5.
DE＋EF4＋1210
答案：6 2.5
9．坐标平面上有点A(－2,3)和B(4，－1)，将坐标平面沿y轴折成二面角A－Oy－B，使A，B两点的距离为211，则二面角等于________．
解析：如图，AD⊥BC，BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，AB＝211，BC＝4，∴AC＝27，AD＝2，CD＝4，∴cosθ＝4＋16－2881
＝－＝－.
1622×2×4
AB
＝
AB＋BC
答案：120°
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为________．
→→→
解析：设n＝λAB＋μAD＋AA1是A1D和AC的公垂线段上的向量，→→→→→→→则n·A1D＝(λAB＋μAD＋AA1)·(AD－AA1)＝μ－1＝0，∴μ＝1.又n·AC→→→→→＝(λAB＋μAD＋AA1)·(AB＋AD)＝λ＋μ＝0，∴λ＝－1.
→→→
∴n＝－AB＋AD＋AA1.故所求距离为 →→→→?|AA1·n|??→－AB＋AD＋AA1?d＝＝?AA1·? |n|3??13＝＝.
333
答案： 3
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(2011·天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝5.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
解：方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
点B为坐标原点，依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－2，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5) →
(1)易得AC＝(－2，－2，5)， →
A1B1＝(－22，0,0)．
→→
→→AC·A1B142
于是cos〈AC，A1B1〉＝＝＝.
→→3×223|AC|·|A1B1|所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为
2
. 3
→→
(2)易知AA1＝(0,22，0)，A1C1＝(－2，－2，5)， 设平面AA1C1的法向量m＝(x′，y′，z′)， →?m·A1C1＝0，
则?
→?m·AA1＝0.
??－2x′－2y′＋5z′＝0.
即? ?22y′＝0.?
不妨令x′＝5，可得m＝(5，0，2)，同样地，设平面A1B1C1
→?n·A1C1＝0，
的法向量n＝(x，y，z)，则?
→?n·A1B1＝0.
??－2x－2y＋5z＝0
即?
?－22x＝0.?
不妨令y＝5，可得n＝(0，5，2)，于是cos〈m，n〉＝235
＝.从而sin〈m，n〉＝. 77
m·n2
＝|m|·|n|7·7
35
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
7
?2325??(3)由N为棱B1C1的中点，得N，，?，设M(a，b,0)，
22??2
→?2325?
则MN＝?－a，－b，?，由MN⊥平面A1B1C1，
222??
→→?MN·A1B1＝0，得?
→→?MN·A1C1＝0.
?即??2?
?－???2－a??·?
解得?2
b＝?4.
2a＝，
2
?2??－a?·?－22?＝0，?2?
?32?5
2?＋??－2?＋·5＝0.－b?·2?2?
?2?→?22?2
???故M，，0，因此BM＝，，0?，
44?2??2?
→10
所以线段BM的长|BM|＝. 4
方法二：(1)由于AC∥A1C1.故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1
所成的角．
因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，AA1
＝22，C1H＝5，可得A1C1＝B1C1＝3.
