2-14 某一流场的速度矢量可以下式表述：u(x，y)=5xi-??yzj，试写出该流场随体加速度矢量Du/D?的表达式。
DuDuxDuyDuzD(5x)D(-?yz)解： ??????0?yz??yz
D?D?D?D?D?D?
2-15 某流场可由下述速度矢量式表达：u(x，y，z，?)=xyzi+yj-3z?k，试求点（2，1，2，1）的加速度矢量。
解： u(x，y，z，?)=xyzi+yj-3z?k
DuDuxDuyDuz???=-3zk=-3×2k=16k D?D?D?D?
2-16 试参照以应力分量形式表示的x方向的运动方程，推导下述方程：
Duy??xy??yy??zy ? ??Y???D??x?y?z?? ?Duz??Z???xz?yz???zz
D??x?y?z证明：（1）根据 外力=质量力+表面力 有
dFy=dFMy+dFsy （1） dFMy=Y?dxdydz （2） dFsy?[(?yy???yy?ydy)dxdz??yydxdz]?[(?xy??xy?xdx)dydz??xydydz]
?[(?zy???zy?zdz)dxdy??zydxdy]?(??xy?x???yy?y???zy?z)dxdydz （3）
将（2）、（3）代入（1）整理，得： ?dxdydzDuyD?DuyD???Ydxdydz?(??xy?x??yy?y??xy?x
???yy?y???zy?z)dxdydz
即： ???Y?????zy?z （2）同理 dFz=dFMz+dFsz （4）
习题解 21
dFMz=Z?dxdydz （5） dFsz?[(?zz????zzdz)dxdy??zzdxdy]?[(?xz?xzdx)dydz??xzdydz] ?z?x??yz?ydy)dxdz??yzdxdz]?(??xz??yz??zz??)dxdydz （6） ?x?y?z ?[(?yz? 将（5）、（6）代入（4）整理，得：
?? ?dxdydzDuz??Zdxdydz?(??xz?yz???zz)dxdydz
D??x?y?z 即： ?Duz??Z???xz???yz???zz D??x?y?z
2-17 试证明温度在柱坐标系和球坐标系中的随体导数可分别用如下两式表示：
Dt?t?tu?'?t?t ??ur??uzD????rr??'?zu?Dt?t?tu?'?t?t ??ur??D????rr??'rsin?'??'Dt?t?tdr?td?'?tdz证明：（1） ????D????rdt??'d??zd?drrd?'dz?ur ?u?' ?uz d?d?d?Dt?t?tu?'?t?t ??u?'??uzD????rr??'?z ? 此为温度t在柱坐标系中的随体导数 Dt?t?tdr?td?'?tdz （2） ????D????rd???'d??zd?drrd?'rsin?'d??ur ?u?' ?u? d?d?d?u??tDt?t?tu?'?t ??u?'??D????rr??'rsin?'?? ? 此为温度t在球坐标系中的随体导数
2-18 一具有均匀内热源q’ W/m3，端部绝热的圆柱体，其表面温度保持不变为tw K。圆柱的半径是r=R。仅在半径方向有热流。假定圆柱的导热系数是常数，推导稳态时温度分布方程。 解：采用圆柱坐标方程，同时在右边加上发热项q’/?cp得
222 ?t??(?t?1?t?1?t??t)?q'
???cp?r2r?rr2??2?z2?cp 对于稳态导热，?t/??=0。同时，对于仅在径向的导热，?2t/?z2=0和?2t/???’2=0。这样微分方程式
d2t1dtq'???的形式变为： 2rdr?drddtq'rd2tdtq'r(r)????可写成： r2? 或： drdr?dr?drdtq'r2???K1 对方程（4）积分一次： rdr2?习题解
22
q'r3?K1lnr?K2 式中K1是常数，再次积分： t??2?式中K2是常数。边界条件：当r=0时，dt/dr=0（由于对称）；当r=R时，t=tw。最终得到：
22t?q'(R?r)4??tw
习题解 23
