解：（1）按稳定流动能量方程式，在压气机中压缩1kg空气所消耗的功为： wsc=-(h1-h2)=-(290-580)=290kJ/kg
压气机消耗的功率为： Psc=wscqma=290×100=29000kW （2）加热1kg空气所需的加热量为： Q1=h3-h2=1250-580=670kJ/kg 燃料的消耗量为： qmf=Q1qma/Qf=670×100/43960=1.5kg/s
（3）在涡轮机中1 kg燃气所作的功为：wsT=h3-h4=1250-780=470 kJ/kg 故涡轮机的功率为： PsT=wsTqma=470×100=47000kW
（4）燃气轮机装置的总功率等于涡轮机发出的功率及压气机消耗功率之差，即： Ps=PsT-Psc=47000-29000=18000kW
2-5 水以9.5kg/s的质量流量稳定地通过一个上游端内径为0.0762m、下游端内径为0.0254m的水平汇合喷嘴（参见附图）。试计算水在大气压中喷出时喷嘴上的合力。
解：此题为稳态流动。当选择控制面时，必须包括喷嘴的外壁面，这样喷嘴所受的合力才能计入总动量衡算中，使问题可以直接求解。因摩擦阻力可以忽略，x轴为水平方向，忽略截面上速度的变化，于是有： qm?ub=FxR+Fxp
为求出式（1）中的Fxp，利用柏努利方程式可得： ?ub2/2+?p/?=0 ub1=qm/?A1=9.5/(1000×0.785×0.7622)=2.09m/s ub2=qm/?A2=9.5/(1000×0.785×0.02542)=18.8m/s qm?ub=9.5×(18.8-2.09)=159 N
2
故 ?p=-?(ub2-ub12)/2=-1000×(18.82-2.092)/2=-174500Pa
力Fxp是截面A1、A2和侧面的压力在x方向上分量的代数和。截面A1的总压力在x方向上的分量为p1A1，方向向右；截面A2的总压力在x方向上的分量为p2A2=paA2，方向向左；外壁面的总压力在x方向上的分量为pa(A1-A2)，方向向左。因此：
Fxp=p1A1-p2A2-pa(A1-A2)=-A1?p=0.785×0.7622×174500=795N FxR=qm?ub-Fxp=159-795=-636N
由此得喷嘴所受的合力为负值，作用在x轴的反方向上，与流动方向相反。
2-6 水稳定流过如图所示的暴露在大气中的等径直角弯管，管内径为0.05m，水的主体流速为20m/s，进口压强为1.5×105Pa（表压）。由于管道很短，摩擦阻力及重力的影响均可忽略。试计算此管所受合力的大小和方向。
习题解 16
解：弯管（包括固体壁面）所受的合力，可分为两步求算：第一步先根据图中侧面为虚线的范围求算流体所受的合力，第二步再根据图中实线范围求算弯管所受的合力。
（1）管中流体所受的力 选择截面1、2及虚线所限定的范围为控制体。由于选择了管内的流体为控制体，故壁外的大气无需考虑。设截面A1和A2所受的压强分别为p1和p2（绝压），管壁对流体的压力为Fx’和Fy’（设力的作用方向均与坐标轴同向）。由于dpx/d?=0（稳态），故： A1p1+Fx’=?(qmux)=0-(qmux)1=-(qmux) 或： Fx’=-qmux-A1p1 又由于dpy/dq=0（稳态），故：-A2p2+Fy’=?(qmuy)=(qmuy)2-0=qmuy 因A2=A1（等径）及p2=p1（无摩擦力），故：Fy’=qmuy+A1p1
（2）弯管所受的力 选择实线所限定的范围为控制体。此时弯管受两种力的作用，一是流体作用在管壁上的力，即-Fx’和-Fy’；另一是大气压力。控制面上只有A1和A2受来自对面大气压力的影响，其余部分因大气压的作用完全对称而相互抵消。设弯管所受的力为Fx和Fy，其方向均与坐标轴同向，于是：
Fx=-Fx’-A1p0=qmux+A1p1-A1p0=qmux+A1(p1-p0) （3） Fy=-Fy’+A1p0=-qmuy-A1p1+A1p0=-qmuy-A1(p1-p0) （4） 上二式中p1-p0表示表压。由题设数据得： p1=p0=1.5×105Pa ux=uy=ub=20 m/s A1=0.785×0.052=1.9635×10-3m2 故： qm=?Aub=1000×1.9635×10-3×20=39.25kg/s
-3
Fx=39.25×20+1.9625×0×1.5×105=1079N Fy=-39.25×20-1.9635×10-3×1.5×105=-1079N |F|=(Fx2+Fy2)1/2=(10792+10792)1/2=1526N ??’=?/4
弯管受力方向如附图（b）所示。
2-7 不可压缩流体绕一圆柱体作二维流动，流场可用下式表示： ur???C??C??Dcos?',u??D???sin?' ?'22rr????其中C、D为常数，说明此时是否满足连续性方程。
???11?C??解： ???rur?????r?2?D?co?s'????Cco?s'??rDco?s'???2?Cco?s'??Dco?s' ??r?r??rr????r?r
???1??C??1??u?'??????Dsin?'??Csin?'??Dsin?'?2?Cco?s'??Dco?s' ?????'?22???'??'???r?r??r? 又因为此流体为不可压缩流体，?为常数，故???0
?? 所以
??1???rur??1???u?'??0 满足连续性方程 ???r?rr??'
2-8 已知不可压缩流体流动的速度场为：u=5x2yzi+3xy2zj-8xyz2k，流体的粘度?=10.7 mPa.s。求（2，4，-6）点处的法向应力和切向应力。 解：法向应力
习题解
17
???5x2yz??2????5x2yz???3xy2z????8xz2y?? ?ux?2???ux?uy?uz? ???p?2?????2?????????xx????????x?3??x?y?z???x =2?(10xyz)-2?(10xyz+6xyz-16xyz)/3=2×10.7×10×10×2×4×(-6)=-10.27Pa
同理 ?yy=2?(6xyz)=-6.16Pa ?zz=2?(-16xyz)=16.44Pa
-3
?3??x?y?z??ux?uy 切向应力 ?xy??(?)??(5x2z?3y2z)=10.7×10-3×[5×4×(-6)+3×16×(-6)]=-4.37Pa
?y?x?uy?uz 同理 ?yz??zy??(?)=?(3xy2-8xz2)=-5.14Pa
?z?y?u?uz)=?(5x2y-8yz2)=-4.62Pa ?xz??zx??(x??z?x
2-9 判断以下流动是否是不可压缩流动：
（1）ux=2?+2x+2y uy=?-y-z uz=?+x-z
（2）ux=(y2-x2)/? uy=2xy/? uz= -2??z/? ?=??2 （3）ux=?+3x uy=2?-2y uz=4y+z-3 证明：若为不可压缩流动，则需满足：
?ux?uy?uz????x?y?z?x 所以为不可压缩流体流动
（1）
?ux?uy?uz???0 ?x?y?z??2??2x?2y??(??y?z)????x?z?=3-2-1=0 满足条件
??y??z?u （2）?ux?y??uz??2x?2x?2?0 不满足条件，所以此流动不是不可压缩流动
?x?y?z?2?2??u （3）?ux?y??uz=3-2+1=0 不满足条件，所以此流动不是不可压缩流动
?x?y?z
2-10 试采用一般化连续性方程描述下述各种运动情况，并结合具体条件将连续性方程简化，指出简化过程的依据。（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态、一维流动；（2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；（3）在平板壁面上可压缩流体作二维稳态流动；（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动；（5）不可压缩流体作圆心对称的径向稳态流动。 解：（1）采用直角坐标系下的连续性方程
?u?u ???ux???uy???uz????(x?y??uz)?0
???x?y?z?x?y?z 因为此流动为可压缩流体的稳态一维流动，故：???0，uy=0，uz=0。
???u?? 即可化简为： ux??x?0
?x?x （2）采用直角坐标系下的连续性方程，因为此流动为不可压缩流体的稳态二维流动，故： ???ux???uy???uz???0，uz=0。
???x?y?z?u 即可化简为： ?ux?y?0
?x?y （3）采用直角坐标系下的连续性方程，因为此流动为可压缩流体的稳态二维流动，故：
??ux??uy ???0，uz=0。 即可化简为： ??0
???x?y （4）采用柱坐标系下的连续性方程，因为是不可压缩流体，故写为：
?urur1?u?'?uz????0 ?rrr??'?z习题解 18
又因为此流动作轴对称的轴向稳态流动，故与??’无关且ur=0。 即可化简为： ?uz?0
?z （5）采用柱坐标系下的连续性方程，因为此流动作圆心对称的径向稳态流动，故与??’无关且ur=0。 即可化简为： ?ur?ur?0
?rr
2-11 有下列3种流场的速度矢量表达式，试判断哪种流场指不可压缩流体的流动： （1）u(x，y，?)=(x2+2?)i-(2xy-?)j （2）u(x，y，z)=-2xi+(x+z)j+(2x+2y)k （3）u(x，y，z)=2xyi+2yzj+2xzk
?u解：根据连续性方程，若为不可压缩流体的流动，须满足：?ux?y??uz?0
?x?y?z2?u （1）?ux?y??uz??(x?2?)?????2xy?????0?2x?2x?0
?x?y?z?x?y 满足条件，故此为不可压缩流体的流动
?u?u?u???2x???x?z???2x?2y? （2）x?y?z?????2?0?0?0 ?x?y?z?x?y?z 不满足条件，故此流动不是不可压缩流体的流动
?u （3）?ux?y??uz??(2xy)??(2yz)??(2xz)?2y?2z?2x?0
?x?y?z?x?y?z 不满足条件，故此流动不是不可压缩流体的流动
2-12 判断以下不可压缩性流体流动是否能满足连续性方程：
212x?2xy2 （1）ux?[?]Vru?ur2 00y2222222200x?y(x?y)(x?y)22(x?y)z?2xyzy （2）ux? u?ururu?u0r0 yz222002220022(x?y)(x?y)x?y （3）u(x, y)=x3sinyi+3x3cosyj （4）ux=lnx uy=xy(1-lnx)
（5）ux=ln(xy)+sin(y?) uy=cos(x?)-y/x（?为时间） u0，r0为定性速度与定性长度，均为常数。
12x2?[2?2]u0r0222?u2x3?6xy2x?y(x?y)解：（1）x??2u0r0 23?x?x(x?y)?2xy?[2]u0r022?uy?2x3?6xy2(x?y) ??u0r 223?y?y(x?y)
?ux?uy??0 满足连续性方程 ?x?y?[?2xyz （2）?ux??x?x2?y?x22?]u0r06x2yz?2y3z?u0r0 223(x?y)(x2?y2)z?[2]u0r02322?uy?6xyz?2yz(x?y) ??u0r0 223?y?y(x?y)
?uz??z?(y)u0r0x2?y2?0
?z习题解 19
?ux?uy?uz???0 满足连续性方程 ?x?y?z?uy?(3x3cosy)?ux?(x3siny)2 （3）???3x3siny ??3xsiny
?x?x?y?y （4）
?ux?uy??0 不满足连续性方程 ?x?y?uy??xy(1?lnx)??ux?(lnx)1?? ??x(1?lnx) ?x?xx?y?y?ux?uy ??0 不满足连续性方程
?x?yy?[cos(xt)?]?uy?ux??(lnxy)?sin(yt)?11x （5）?? ???
?x?xx?y?yx?u ?ux?y?0 满足连续性方程
?x?y
2-13 证明柱坐标系中，连续性方程的表达式为：
??1??rur1??u?'??uz ????0
??r?rr??'?z证明：在图1的柱坐标系（r，?’，z）中任意取一微元柱体。根据质量守恒定律，作此微元柱体的质量衡算，沿r，?’，z各方向输入微元柱体的质量流率分别为：
?urrd??’dz （1a） ?u??’drdz （1b） ?uzrd??’dr （1c） 输出的质量流率分别为：
?(?ur) [?ur?dr](r?dr)d?'dz （2a）
?r?(?u?') [?u?'?d?']drdz （2b）
??'?(?uz) [?uz?dz]rd?'dr （2c）
?z 略去高阶无穷小，输出与输入的质量流率之差为：
?(?ur)?(?u?')?(?uz)??r]drd?'dz （3） ?r??'?z??drd?'dz （4） 在微元柱体中累积的质量速率为： r?? [?ur?r 最后可得柱坐标系中的连续性方程为：
???ur???ur?1???u?'????uz? ?????0 ??r?rr??'?z??1? 或： ??rur??1???u?'?????uz??0 ???r?rr??'?z
习题解 20
