前 言
介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质．这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理．介值定理（Intermediate value theorem）首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明．对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.
华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是：设函数f在闭区间?a,b?上连续，且f(a)?f(b).设?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)???f(b)或
f(a)???f(b)）,则至少存在一点x0?(a,b),使得f(x0)??．介值定理是闭区间上连续
函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明．介值定理在连续函数中具有广泛的应用性．比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等．
当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数f(a)和f(b)入手，f(a)和f(b)也可以为
??或??．利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为0.1m(m?N)的近似解的一种好方法．
此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度．使我们能够更加努力地学习．
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1 介值定理及其证明方法
1.1 介值定理的内容
定理[1] 设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b).设?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)???f(b)或f(a)???f(b)）,则至少存在一点x0?(a,b),使得
f(x0)??．
这个定理表明，若f在[a,b]上连续，又不妨设f(a)?f(b)，则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值，即有
[f(a),f(b)]?f([a,b])．
推论（根的存在定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)f(b)?0），则至少存在一点x0?(a,b)，使得
f(x0)?0．
即方程f(x)?0在(a,b)内至少有一个根．根的存在定理也就是零点定理．在下面一些问题的证明中，我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根的存在定理证明介值定理．
1.2 介值定理的四种证明方法 1.2.1 应用确界原理[1]
不妨设f(a)?u?f(b)．令g(x)?f(x)?u，则g也是[a,b]上的连续函数，且
g(a)?0,g(b)?0．于是定理的结论转化为：存在x0?(a,b),使得g(x0)?0．这个简单的情
形即为根的存在性定理．
记E??xg(x)?0,x?[a,b]?.显然E为非空有界集(E?[a,b]且b?E),故由确界原理，E2
有下确界，记x0?infE.因由连续函数的局部保号性，存在??0,使得在[a,a??)内g(x)?0,在(b??,b]内g(x)?0,由此易见x0?a,x0?b,即x0?(a,b)．
下证g(x0)?0．倘若g(x0)?0,不妨设g(x0)?0,则又由局部保号性，存在U(x0;?)
(?(a,b)),使在
g(x)?0,特别有g(x0?)?0?x0??E．但这与x0?infE相矛盾，
22??故必有g(x0)?0．
1.2.2 应用区间套定理[1]
我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数g在[a,b]上连续g(a)?0，
g(b)?0，则存在x0?(a,b)使得g(x0)?0．
将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b]．若g(c)?0，则c即为所求；若g(c)?0，则当g(c)?0时记[a1,b1]?[a,c]，当g(c)?0时记[a1,b1]?[c,b]．于是有g(a1)?0,g(b1)?0，且[a1,b1]?[a,b]，b1?a1?1(b?a)． 2再从区间[a1,b1]出发，重复上述过程，得到：或者在[a1,b1]的中点c1上有g(c1)?0，或者有闭区间[a2,b2]，满足g(a2)?0,g(b2)?0，且[a2,b2]?[a1,b1]，b2?a2?将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：
(1)在某一区间的中点ci上有g(ci)?0，即ci即为所求；
1(b?a)． 22(2)在任一区间的中点ci上均有g(ci)?0，则得到闭区间列{[an,bn]}，满足
g(an)?0,g(bn)?0，且
[an?1,bn?1]?[an,bn]，bn?an?1(b?a),n?1,2,?. 2n由区间套定理，存在点x0?[an,bn],n?1,2,?.下证g(x0)?0.倘若g(x0)?0,不妨设
g(x0)?0,则由局部保号性，存在U(x0;?),使在其内有g(x)?0.而由区间套定理的推论，当但这与[an,bn]选取时应满足的g(an)?0n充分大时有[an,bn]?U(x0;?),因而有g(an)?0．相矛盾，故必有g(x0)?0．
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1.2.3 应用致密性定理证明
先证明下面两个引理
引理1[2] 设?xn?是有界数列，而且lim(xn?1?xn)?0，则?xn?的聚点的集合是[a,b]，其
n??中a?limxn,b?limxn,
n??n??证明 根据定义，a与b都是?xn?的聚点，故我们只要证明a与b之间的任意实数
x(a?x?b)都是?xn?的聚点即可．
?，必有n*?n0?存在，使得xn??x??． 先证对于任给的??0及任给的正整数n0??时，恒有xn?1?xn??． ??存在，使当n?n0事实上，由假定可知必有正整数n0?,n0???,则数列{xn}????令n0?max?n0n?n0?1 中必至少有两项xn和xn存在，使
??x,xn???x（因为否则的话，例如，无小于x的项，则必limxn?x，此与a?x矛盾）． xnn??不妨设n??n??，令满足n??n?n??，且使xn?x 的正整数n中之最大者为n*，显然
n*?n???1，且xn??x,xn?1??x，
因此n*?n0，且xn??x?xn?1??xn???．
先取?1?1,N1?1，则存在xn1(n1?1)，使xn1?x?1；
?2?12，N2?n1，则存在xn2(n2?n1)，使xn?x?12；
2又取?3?1,N3?n2，则存在xn3(n3?n2)，使xn3?x?1
33如此继续下去，得到?xn?的一个子列{xnk}，满足xnk?x?1(k?1,2,3...)，故
kxnk?x(k??)，即x是?xn?的一个聚点．
引理2[3] 设f在闭区间[a,b]连续，数列?xn??[a,b]且limf(xn)?A，证明存在点
n????[a,b]，使得f(?)?A．
证明 因为?xn??[a,b]，所以?xn?有界．由致密性定理“有界数列必有收敛子列”可
知?xn?中必有收敛子列xnk，设limxnk??．由于a?xnk?b,故??[a,b]．又limf(xn)?A,
k??n????4
故limf(xnk)?A,．由于f在闭区间[a,b]连续，因而
k??A?limf(xnk)?f(limxnk)?f(?)．
k??k??下面对根的存在性定理进行证明
证明 取[a,b]的中点，记为x1，再取[a,x1]及[x1,b]的中点，分别记为
x2,x3，且
x1?x2?x2?x3?1(b?a)． 2又取[x3,b],[x1,x3],[x2,x1],[a,x2]的中点，顺次记为x4,x5,x6,x7,且
x3?x4?xi?1?xi?1(b?a),i?4,5,6. 22然后取[a,x7],[x7,x2],[x2,x6],[x6,x1],[x1,x5],[x5,x3],[x3,x4],[x4,b]的中点，顺次 记为x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,且
x7?x8?xi?1?xi?1(b?a),i?8,9,10,?,14． 23如此继续下去可得到数列{xn}，满足：对任意的正整数n，存在正整 数k，使2k?n?1?2k?1，从而有
xn?1?xn?1(b?a)． 2k由于g(x)在闭区间[a,b]连续，所以g(x)在闭区间[a,b]上一致连续且有界，因而，对任给的??0，存在??0，及正整数N，当n,k?N时，有
xn?1?xn?1(b?a)??． 2k因而g(xn?1)?g(xn)??．即有
lim(g(xn?1)?g(xn))?0．
n??由引理2 得{g(xn)}的聚点的集合是[?,?]，其中??limg(xn),??limg(xn),
n??n??2n?12n?1显然{xn}的子列{xni}：x7,x8,x31,x32,?,x2?1,x2,?收敛于a；{xn}的子列{xni}：2n2nx3,x4,x15,x16,?,x2?1,x2,?,收敛于b．
由于g(x)在[a,b]上连续,所以有
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