内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第三章 三角函数、解三角形
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
(2)分类?
?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 180?°π角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝??? 180?π?弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． lrl＝|α|r S＝lr＝|α|r2 1212yx 1
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )
(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( )
(4)若点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝( ) A.
5
55 5
－
2
B.
25
5
C．－25D．－ 5
＋2＝5(O为坐标原点)，所以sin α＝
2
解析：选B 因为|OP|＝
2
25
＝.
55
3．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选D 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．
4
4．已知角α的终边过点P(8m,3)，且cos α＝－，则m的值为( )
51A．－ 2C．－3 2
1B. 2D.3 2
2
解析：选A 由题意得1
解得m＝－. 2
4＝－，且m<0.
5m2＋328m5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． π
解析：设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，
31
所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
2答案：6π
4π
6．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．
3
4π4π?4π?解析：与角－终边相同的角是2kπ＋?－?，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边33?3?2π
相同的角是. 3
2π答案： 3
考点一 象限角及终边相同的角
基础送分型考点——自主练透
[考什么·怎么考]
高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题. 1．给出下列四个命题： 3π
①－是第二象限角；
4②
4π
是第三象限角； 3
③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
3π4ππ4π
解析：选C －是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，4333故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－
3
360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确，故选C.
2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 76545
解得－≤k<－(k∈Z)，
360360从而k＝－2或k＝－1，
代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
3．终边在直线y＝3x上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴正半轴的夹
???ππ
角是，终边在直线y＝3x上的角的集合为?α?α＝kπ＋，k∈Z?.
33???
?
答案： ?α
?
?α＝kπ＋π，k∈Z?
? ?3??
α
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
2π
解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
2
παπαα∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是42222第三象限角．
答案：一或三
[怎样快解·准解]
1．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
θ*
2．求或nθ(n∈N)所在象限的方法
n(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n.
4
θ*
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N)所在的象限．
n[注意] (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
考点二 扇形的弧长及面积公式的应用
基础送分型考点——自主练透
[考什么·怎么考]
高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题. 1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 C．1或4
B．4 D．2或4
解析：选C 设扇形的半径为r，弧长为l， 2r＋l＝6，??则?1
rl＝2，??2
??r＝1，
解得?
??l＝4
??r＝2，
或???l＝2.
l4l2
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
r1r2
2．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm. 解析：由弧长公式l＝|α|r，得
2
r＝20361136360＝，∴S扇形＝lr＝×20×＝. 100ππ22ππ180
360答案： π
3
3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角
2是原来的________倍．
解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为. 3
将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，
23l2l则弧度数变为＝3·，
1rr2
lr 5
