（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子
的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，
接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出【解答】（1）证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， ∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中，
，
∴△DBC≌△CFE； （2）解：如图1， ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中，
，
∴△ABM≌△EFM， ∴BM=FM， ∴BF=2BM，
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=1．
∴AD=2BM， ∴
的值为2；
（3）解：
的值不变．
在EH上截取EQ=DG，如图2， 在△CDG和△CEQ中
，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中，
，
∴△HCG≌△HCQ， ∴HG=HQ， ∴
=
=
=1．
第22页（共36页）
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 13．（2014秋?昌平区期末）阅读下面材料：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，相当于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范围．请你写出AD的取值范围 1＜AD＜4 ；
小明小组的感悟：解题时，可以通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 请你解决以下问题：
（1）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF；
222
②若∠A=90°，请直接写出线段BE、CF、EF之间的数量关系为 BE+CF=EF ．
（2）如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
【分析】利用三角形全等可以得出AD=AE，由三角形的三边关系建立不等式就可以得出结论；
（1）①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC，就有EF=GF，连结FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG=BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；
②如图2，由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°由勾股定理就可以得出结论； （2）延长AC到G使CG=BE，连结DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，进而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论．
【解答】解：∵D是BC的中点， ∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌EDB（SAS）， ∴AC=BE．
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∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC． ∵AB=5，AC=3， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4； （1））①如图2，延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC ∵ED⊥DF
∴EF=GF．
∵D是BC的中点， ∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS）， ∴BE=CG．
∵CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF；
②如图2，∵∠A=90°， ∴∠B+∠ACB=90°． 在△BDE和△CDG中，
，
∵△DBE≌△DCG（SAS）， ∴BE=CG．∠B=∠GCD， ∴∠GCD+∠ACB=90°． 即∠GCF=90°．
∴CF2+GC2=GF2，
∴BE2+CF2=EF2．
故答案为：BE2+CF2=EF2
； （2）EF=BE+CF
理由：如图3，延长AC到G使CG=BE， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG．
在△DBE和△DCG中
，
∴△DBE≌△DCG（SAS）， ∴DE=DG，∠BDE=∠CDG． ∵∠BDC=120°，∠EDF=60° ∴∠BDE+∠CDF=60°， ∴∠CDG+∠CDF=60°，
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∴∠EDF=∠GDF． 在△EDF和△GDF中，
∴△EDF≌△GDF（SAS）， ∴EF=GF． ∵GF=CG+CF， ∴GF=BE+CF， ∴EF=BE+CF．
【点评】本题考查了三角形的三边关系的运用，勾股定理的运用，四边形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 14．（2014秋?抚州期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．
（2）如图2，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
（3）如图3，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数= 360° ．
【考点】平行线的性质． 【分析】（1）过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系，然后将∠B=50°，∠D=30°代入，即可求∠BPD的度数；
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