8．（2014秋?广丰县期末）如图，点P在AC上，点Q在AB上，BE平分∠ABP，交AC于E，CF平分∠ACQ，交AB于F，BE、CF相交于G，CQ、BP相交于D，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB的度数，从而得出∠A的度数． 【解答】解：如图，连接BC．
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，
又∠BDC=140°，∠BGC=110°，
∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°， ∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°， ∴∠ABE+∠ACF=30°，
∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°， ∴∠A=80°．
【点评】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 9．（2014秋?广丰县期末）已知点O为线段AB的中点，P为线段AB外一点，过P作直线l，分别过A、B作直线l的垂线段AM、BN；
（1）当点O在直线l上时，求证：OM=ON；
（2）直角三角形斜边上的中线有下列性质：斜边上的中线等于斜边的一半． 请你利用这一性质回答问题：当点O不在直线l上时，OM=ON吗？
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
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【分析】（1）证出△AMO≌△BNO，据此即可解答；
（2）作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD．证出△MAO≌△NCO即可解答． 【解答】解：（1）在Rt△AMO和Rt△BNO中，
，
∴△AMO≌△BNO（AAS）， ∴OM=ON． （2）OM=ON．
作AC∥l，延长BN交AC于C，连接OC；作BD∥l，延长AM交BD于D，连接OD． 可知，∠ACB=90°，AM=CN． ∵O为AB的中点， ∴CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAM=∠OCN， 在△MAO和△NCO中，
，
∴△MAO≌△NCO（SAS）， ∴OM=ON．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线，构造所需图形是解题的关键． 10．（2013秋?开县期末）已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．
（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；
（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，由平行线的性质得到∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，通过证明△ABM≌△EFM，得到BM=MF，AB=EF，于是证得△BCD≌△FED，得到BD=DF，∠5=∠6，推出∠BDF=∠CDE=90°，因为BM=MF，得到△BDM是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，同理易证：△ABM≌△EFM得到AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，由于∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，得到∠BCD=∠DEF=90°，证得△BCD≌△FED，得到∠BDC=∠EDF，BD=DF，∠BDF=∠CDE=90°，推出△BDM是等腰直角三角形． 【解答】证明：（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF， ∴∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，
在△ABM与△EFM中，，
∴△ABM≌△EFM， ∴BM=MF，AB=EF， ∵AB=BC， ∴BC=EF，
过C作CN⊥AE于N， ∵∠ABC=∠CDE=90°， 易得；∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DEF=∠4+∠MEF=∠2+∠3=∠BCD， 在△BCD与△FED中，
，
∴△BCD≌△FED， ∴BD=DF，∠5=∠6， ∴∠BDF=∠CDE=90°， ∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形， ∴BM=DM，BM⊥DM；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF， 同理易证：△ABM≌△EFM，
∴AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°， ∵∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°， ∴∠BCD=∠DEF=90°， 在△BCD与△FED中，∴△BCD≌△FED，
∴∠BDC=∠EDF，BD=DF， ∴∠BDF=∠CDE=90°， ∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形， ∴BM=DM，BM⊥DM．
，
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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（2014秋?西城区期末）已知：在△ABC中，∠ABC=60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C、D重合），且∠EAC=2∠EBC．
（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB= 54 °，∠AEC= 99 °． （2）如图2，
①求证：AE+AC=BC；
②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB=27°，根据角平分线的性质得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分线的性质得到∠ACD=∠ECB=27°，因为∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°﹣27°﹣54°=99°； （2）①在BC上取一点M，使BM=ME，根据等腰三角形的性质得到∠MBE=∠MEB，由∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，得到∠EAC=∠EMC，由全等三角形的性质推出AE=ME，CM=AC，于是得到结论；
②如图2，在BC上取一点M，使BM=ME，连接AM，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AMC是等边三角形，通过三角形全等得到∠EBC=∠MAE，由∠MAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，于是得出结果． 【解答】解：（1）∵EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB=27°，
∴∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECB=27°， ∵∠EAC=2∠EBC=54°，
∴∠AEC=180°﹣27°﹣54°=99°， 故答案为：27°，99°；
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（2）①证明：如图1，在BC 上取一点M，使BM=ME， ∴∠MBE=∠MEB，
∵∠EAB=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE， ∴∠EAC=∠EMC， 在△ACE与△MCE中，
，
∴△ACE≌△MCE， ∴AE=ME，CM=AC， ∴AE=BM，
∴BC=BM+CM=AE+AC；
②如图2在BC 上取一点M，使BM=ME，连接AM， ∵∠ECB=30°，
∴∠ACB=60°，由①可知；△AMC是等边三角形， ∴AM=AC=BE，
在△EMB与△MEA中，
，
∴∠EBC=∠MAE， ∵∠MAC=60°，
∵∠EAC=2∠EBC=2∠MAE， ∴∠MAE=20°，∠EAC=40°， ∴∠EBC=20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（2014秋?昌平区期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求
的值；
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