2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
数学试题（理科）参考答案和评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B C D 6 C 7 B 8 A 95二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．?1 10．?4 11．2?（2分），13．
12161121201305
3 （3分） 12．
?????14．2?sin(???6)?1（或2?cos(???3)?1、?cos??3?sin??1） 15．1:4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解析：（1）∵cos2??2cos??1??∵??(0,?2)，∴cos??352725，∴cos??2925，
． -----------------5分
1?cos??2（2）方法一、由（1）得sin??45，
∵?CAD??ADB??C???45?，
∴sin?CAD?sin(???4)?sin?cosCD?4?cos?sinADsin?C?4?210， -----------------9分
在?ACD中，由正弦定理得：
2sin?CAD?，
∴AD?CD?sin?Csin?CAD1??2?5， -----------------11分
A 210则高h?AD?sin?ADB?5?45?4． -----------------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH 在直角△ADH中，由（1）可得cos??DBAD?35，
C D B 第16题图 H 则不妨设AD?5m, 则DH?3m,AH?4m -----------------8分
?注意到?C=45，则?AHC为等腰直角三角形，所以CD?DH?AH ，
·6·
则1?3m?4m -----------------10分 所以m?1，即AH?4 -----------------12分
17．（本题满分12分）
解析：（1）当n?2，时an?Sn?Sn?1?2n?1?2n?2n， -----------------2分 又a1?S1?21?1?2?2?21，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an?2n． -----------------3分
b1?a1?2，设公差为d，则由b1,b3,b11成等比数列，
得(2?2d)2?2?(2?10d)， -----------------4分 解得d?0（舍去）或d?3， ----------------5分 所以数列{bn}的通项公式为bn?3n?1． -----------------6分 （2）由（1）可得Tn?b1a1?b2a2?b3a3???bnan521?2281?522?823???3n?12n， -----------------7分
2Tn?2??22???3n?12n?1， -----------------8分
两式式相减得
Tn?2?321?322???32n?1?3n?12n， -----------------11
分
3Tn?2?2(1?1?121n?1)?3n?12n?5?3n?52n， -----------------12
2分
18．（本题满分14分）
解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3AD?DB知，点D为AO的中点， 又∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，
?由3AC?BC知，?CAB?60，
P ∴?ACO为等边三角形，从而CD?AO．-----------------3分
·7·
A D O B ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC， ∴PD?CD，-----------------5分
由PD?AO?D得，CD?平面PAB，
又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分 （注：证明CD?平面PAB时，也可以由平面PAB?平面ACB得到，酌情给分．） 法2：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，
在Rt?ABC中设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，DB?3，AB?4，BC?23，
BDBCBCAB32∴??，则?BDC∽?BCA，
∴?BCA??BDC，即CD?AO． -----------------3分 ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD?CD， -----------------5分 由PD?AO?D得，CD?平面PAB，
又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分 法3：∵AB为圆O的直径，∴AC?CB，
?在Rt?ABC中由3AC?BC得，?ABC?30，
设AD?1，由3AD?DB得，DB?3，BC?23， 由余弦定理得，CD?DB?BC?2DB?BCcos30?3，
222∴CD?DB?BC，即CD?AO． -----------------3
222?分
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD?平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD?CD， -----------------5分
由PD?AO?D得，CD?平面PAB，
又PA?平面PAB，∴PA?CD． -----------------6分
·8·
（Ⅱ）法1：（综合法）过点D作DE?PB，垂足为E，连接CE． -----------------7分
P 由（1）知CD?平面PAB，又PB?平面PAB， ∴CD?PB，又DE?CD?D， ∴PB?平面CDE，又CE?平面CDE， ∴CE?PB，-----------------9分
∴?DEC为二面角C?PB?A的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知CD?3，PD?DB?3，
E A D O B （注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） C ∴PB?32，则DE?PD?DBPB?932?322，
63∴在Rt?CDE中，tan?DEC?CDDE?3322?，
∴cos?DEC?155，即二面角C?PB?A的余弦值为155． -----------------14分
????????????法2：（坐标法）以D为原点，DC、DB和DP的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建立如图
所示的空间直角坐系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD?AB，酌情给分．） 设AD?1，由3AD?DB，3AC?BC得，PD?DB?3，CD?∴D(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，P(0,0,3)，
????????????∴PC?(3,0,?3)，PB?(0,3,?3)，CD?(?3,0,0)，
标
3，
????由CD?平面PAB，知平面PAB的一个法向量为CD?(?3,0,0)． -----------------10
分
设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，则
???????n?PC?0?3x?3y?0，即，令y?1，则x??????????3y?3z?0?n?PB?0z P 3，z?1，
∴n?(3,1,1)，-----------------12分 设二面角C?PB?A的平面角的大小为?，
·9·
A C D O B y ????n?CD则cos???????|n|?|CD|?35?3??155，-----------------13分
∴二面角C?PB?A的余弦值为19．（本题满分14分）
155．-----------------14分
k??2,0?x?6?2x?解析：（Ⅰ）由题意可得：L??， -----------------2分 x?8?11?x,x?6?因为x?2时，L?3，所以3?2?2?k2?8?2. -----------------4分
解得k?18. -----------------5分 （Ⅱ）当0?x?6时，L?2x?18x?818x?8?2，所以
L?（2x?8）??18=?[2(8?x)?188?x]?18≤?2（28?x）?188?x?18?6．-----------------8
分
当且仅当2(8?x)?188?x当x?6时，L?11?x?5． -----------------12
，即x?5时取得等号． -----------------10分
分
所以当x?5时，L取得最大值6．
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分
20．（本题满分14分）
解析：（1）由题意可得a?2，e?分
∴b?a?c?1，
x22222ca?32，∴c?3， -----------------2
所以椭圆的方程为分
4?y?1． -----------------4
·10·
