2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高． ②锥体的体积公式V?1n13Sh，其中S为柱体的底面积，h为锥体的高．
③标准差s?[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]，其中x为样本x1,x2,?,xn的平均数．
222一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i为虚数单位，则复数
i2?i12121212A．?i B． ??i C．?i D．??i
55555555等于
2．命题p: ?x?R,x2?1?1，则?p是
A．?x?R,x?1?1 B．?x?R,x2?1?1 C．?x?R,x?1?1 D．?x?R,x?1?1
3．已知a?(1,2)，b?(0,1)，c?(k,?2)，若(a?2b)?c，则k? A．2 B．8 C．?2 D．?8
4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．9 B．10 C．11 D．
·1·
正视图
3 2222 2 侧视图
2321 1 俯视图
第4题图
5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是 A．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
?y?x?6．已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为
?y??1?第5题图
A．?3 B．
12 C．5 D．6
7．已知集合M??x|x?4|?|x?1|?5?，N??xa?x?6? ,且M?N??2,b?,则a?b? A．6 B．7 C．8 D．9
8．对于函数y?f(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]内是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函数的“和谐区间”．若函数
f(x)?a?1a?1x(a?0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是
15A．(0,1) B． (0,2) C．(,) D．(1,3)
22二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)
9．已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)=log2x，则f(f())的值等于 ．
4110．已知抛物线x?4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是_____． 11．函数y?sinx?sin?x???2???的最小正周期为 ，最大值是 ． 3?? ·2· 0 1 2 3 12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得
A等级的概率分别为
P 6125 a b 24125 45、
35、
25，
且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记?为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E?的值为______________. 13．观察下列不等式： ①
12?1；②12?16?2；③12?16?112?3；?
则第5个不等式为 ．
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线??l极坐标方程为 ．
?3（??R）垂直，则直线
15．（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的 中点，直线l过点M分别交AD,AC于点E,F． 若AD?3AE，则AF:FC? ．
A D E F M l
第15题图
C
B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
?如图，在△ABC中，?C?45，D为BC中点，BC?2.
A
记锐角?ADB??．且满足cos2???（1）求cos?； （2）求BC边上高的值．
725．
C D B
第16题图
·3·
17．（本题满分12分）
数列?an?的前n项和为Sn?2n?1?2，数列?bn?是首项为a1，公差为d(d?0)的等差数列，且
b1,b3,b11成等比数列．
（1）求数列?an?与?bn?的通项公式； （2）设cbnn?a，求数列?cn?的前n项和Tn．
n
18．（本题满分14分）
如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD?13DB，点C为圆O上一点，且BC?3AC．
点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD?DB． （1）求证：PA?CD；
（2）求二面角C?PB?A的余弦值．
·4·
P A D O B C 第18题图
19．（本题满分14分）
某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式
C?3?x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式
k??5, (0?x?6)?3x? S??x?8?14, (x?6)?已知每日的利润L?S?C，且当x?2时，L?3． （1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）
设椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的左右顶点分别为A(?2,0),B(2,0)，离心率e?32．
过该椭圆上任一点P作PQ?x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|?|PC|． （1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A,B）与直线x?2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．
21．（本题满分14分）
x设g(x)?e，f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x)，其中a,?是常数，且0???1．
（1）求函数f(x)的极值；
e?1xx（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式?1?a成立；
+（3）设?1,?2?R，且?1??2?1，
证明：对任意正数a1,a2都有：a1a2??1a1??2a2．
·5·
?1?2
