所以AHA与AAH的非零特征值相同，且非零特征值的个数等于
rank(AHA)．结合引理
5.1即得结论．
定义5.2 设A?Crm?n,AHA的特征值
?1??2????r??r?1????n?0,
则称?i??i(i?1,2,?,n)为A的奇异值,并称?i,(i?1,2,?,r)为A的
正奇异值，其中r?rank(A)．
定义5.3 设A为n阶非奇异矩阵，U及V为n阶酉矩阵，称
A???iuiviHi?1n为
A的奇异值分解，其中，U?(u1,u2,?,un)，
V?(v1,v2,?,vn)．
定理5.2 设A为n阶非奇异矩阵，则存在n阶酉矩阵U及
Vn，使得UHAV?diag(?1,?2,?,?n)，?i?0，
i?1,2,?,n．即
A???iuiviH．
i?1证明: 因AHA为n阶非奇异矩阵，而且是Hermite矩阵，正定矩阵，故存在n阶酉矩阵V，使VH(AHA)V?diag(?12,?22,?,?n2), ?i2为
AHA的特征值．令??diag(?1,?2,?,?n)，UH???1VHAH，则
U?AV??1，UHU?En，UHAV??．
3. 一般矩阵的奇异值分解
定理5.3 设A?Crm?n，则存在m阶酉矩阵U及n阶酉矩阵
V，使UHi?1,2,?,r．即A???iuiviH． ?i?0，AV?diag(?1,?2,??r,0,?,0)，
i?1r证明： 因rank(AHA)?rank(AAH)?rank(A)，故AHA?Crn?n，AHA是Hermite矩阵，且是半正定的，故存在n阶酉矩阵V，使得
2VH(AHA)V?diag(?12,?2,?,?r2,0,?,0)，?i2为AHA的特征值．
令:??diag(?1,?2,?,?r)，V??V1V2?，V1?Cn?r，V2?Cn?(n?r) ，则
?V1H(AHA)V1V1H(AHA)V2???2V(AA)V??HH???HH?V2(AA)V1V2(AA)V2??0HH0??0?．令:U1?AV1??1，则
U1HAV1??，又(AV2)H(AV2)?0，得(AV2)?0．
在U1的基础上构造酉矩阵U??U1U2?，使得UHU?En，这由基扩充定理可知是可行的，即有U1HU1?Er，U1HU2?0r?(n?r)，
HHHAV1?U2U1??0,故 U2U2?En?r，因U2r?U1H??U1HAV1U1HAV2???0?H，即． A??uvUAV??H?A?V1V2???H???iii?00?Hi?1??U2??U2AV1U2AV2??H故定理得证．
奇异值分解的求法可按证明步骤求之．
?0??1例 求A???0??11?0??的奇异值分解． 2??0?20?，所以A??05?解 第一步：求A的正奇异值．因为 AHA???的非零奇异值为
?50?2,5，故????．
2??0??第二步：求AHA酉相似对角化的矩阵V．对应于特征值5和2的标准正交特征向量为?1???0??1??01?，故． ,??V?2??????1??0??10?rank(A)?2第三步：求酉矩阵U．显然 ，所以取
??????01??1 U1?AV???V1?V???，10????????1502500??2??0??5????1?1??0??2?2?补充 U2???，?
1??00???5????1?1?0??2?2????2?1?0?0?5?5??11?0??0?22?则U?(U1,U2)???为酉矩阵．
21?00??5?5??11?0?0?22???第四步：求A的奇异值分解．
2?1?0?0?5?5???1?50??0?10??H01????0?H?22??02?A?U?V???????10?210000??????00???5??5????00?11??00?22???????5?????1??0??1?5????0??01??22??10?． ?0?1??1?5????0??2???
