?10???1230?． 01即A的满秩分解为A?FG?????021?1?????1?1??
§3 矩阵的QR分解
以初等变换为工具的LR分解方法并不能消除病态线性方程组不稳定问题．20世纪60年代以后，人们以正交(酉)变换为工具，给出了QR分解方法． 1.QR分解
定义3.1 如果实(复)矩阵A能化成正交(酉)矩阵Q与实(复)上三角矩阵R的乘积，即A?QR，则称A?QR是A的QR分解． 2.定理
定理3.1 任何实的非奇异n阶矩阵A可以分解成正交矩阵Q和上三角矩阵R乘积，即A?QR，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一．
证明 设非奇异n阶矩阵A??a1,a2,?,an?，其中a1,a2,?,an依次为A的各列向量，对a1,a2,?,an正交化可得
b1?a1??b2?a2?k21b1??ai,bj?,(j?i) ， ?b?a?kb?kb，其中k??33311322ij?bj,bj??????bn?an?kn1b1?kn2b2???knn?1bn?1
?1k21?01?矩阵表示为A??b1,b2,?,bn?C,其中C??00??????00k31?kn1?k32?kn2??1?kn3?．
?????0?1??对b1,b2,?,bn单位化可得qi?bi?b1??b1,b2,?,bn???q1,q2,?,qn??????b2bi,i?1,2,?,n，且?qi,qj???ij，有
???， ???bn??b2???C?QR． ???bn???b1? 即 A??b1,b2,?,bn?C??q1,q2,?,qn??????其中，Q是正交矩阵,R是上三角矩阵.
唯一性（反证法）.设A?QR?Q1R1，则得Q?Q1R1R?1?Q1D，式中D?R1R?1为上三角矩阵,于是E?QTQ?DTD,表明D不仅为正交矩阵,而且还是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵,从而R1?DR,Q1?QD?1．
定理3.2 设A是m?n的实（复）矩阵，且其n个列线性无关，则A具有分解A?QR．其中Q是m?n阶实（复）矩阵，且满QTQ?E(QHQ?E)，R是n阶实（复）非奇异三角矩阵．除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角阵因子外，上述分解唯一.
§4 矩阵的Schur定理
定义4.1 设A,B?Rn?n(Cn?n)，如果存在n阶正交（酉）矩
阵U，使得UTAU?U?1AU?B，（UHAU?U?1AU?B），则称A正交（酉）相似于B．
定理4.1（Schur定理） 任何一个n阶复矩阵都酉相似于一个上三角矩阵．即存在一个n阶酉矩阵U和一个n阶上三角矩阵R，使得UHAU?R．其中R的对角元是A的特征值，它们可以按照要求的次序排列．
定义4.2 设A?Cn?n,如果AAH?AHA，则称A为正规矩阵．
显然，对角矩阵，Hermite矩阵，反Hermite矩阵，正交（酉）矩阵都是正规矩阵．
定理4.2 n阶矩阵A酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵．
证明 先证必要性．设A酉相似于对角矩阵?，即存在酉矩阵U，使A?U?UH，则
AHA?U?HUHU?UH?U?H?UH?U??HUH?U?UHU?HUH?AAH
即A为正规矩阵．
再证充分性．由Schur定理知，存在酉矩阵U，使得
?r11?0?HA?URU，其中R是上三角矩阵，记R??0?????0r12r220?0r13?r1n?r23?r2n??r33?r3n?．因
?????0?rnn??为AHA?AAH，所以RHR?RRH． 比较
?r11?r?12?r13?????r1n0r22r23?r2n0?0?r33???r3n?0??r11?00???0??0??????rnn????0r12r220?0r13?r1n??r11?0r23?r2n???r33?r3n???0????????0?rnn????0r12r220?0r13?r1n??r11?rr23?r2n???12r33?r3n??r13????????0?rnn????r1n0r22r23?r2n0?0?r33???r3n?0?0??0????rnn??两边的对角元素，即得R???diag(r11,r22,?,rnn)，即A?U?UH．
推论4.1 若A为n阶Hermite矩阵，则A必酉相似于实对角矩阵，即存在
n阶酉矩阵
U，使得
UHAU??，
??diag(?1,?2,?,?n)，?i是A的特征值．
§5 矩阵的谱分解和奇异值分解
矩阵的谱分解和奇异值分解不仅是矩阵计算和矩阵理论的最基本和最重要的工具之一，而且在控制理论，优化问题，系统辨别和信号处理及其广义逆矩阵等方面都有直接的应用．
1. Hermite矩阵的谱分解
定义5.1 设A为Hermite矩阵，U是酉矩阵，将U写成列向量形式，即U?(u1,u2,?,un)，则称A?U?U的谱分解．
定理5.1 设A为Hermite矩阵，则存在酉矩阵U，使
UHAU???diag(?1,?2,?,?n)，
H???iuiuiHi?1n为Hermite矩阵
将U写成列向量形式，即U?(u1,u2,?,un)，则A?U?U2. 非奇异矩阵的奇异值分解
H???iuiuiHi?1n．
引理5.1 设A?Cm?n，则rank(AHA)?rank(AAH)?rank(A)． 证明： 如果x?Cn是齐次方程组Ax?0的解，则它显然是齐次方程组AHAx?0的解；反过来，如果x?Cn是齐次方程组
AHAx?0的解，则xHAHAx?0，即(Ax)H(Ax)?0，所以Ax?0，即x?Cn是齐次方程组Ax?0的解．因此，方程组 Ax?0与 AHAx?0同解，从而rank(AHA)?rank(A)．
同理，可证rank(AAH)?rank(A)．从而证明了结论． 引理5.2 设A?Cm?n，则 1）AHA与AAH的特征值均为非负实数； 2）AHA与AAH的非零特征值相同，且非零特征值的个数等于rank(A)．
证明：1）设?为AHA的任一特征值，x为?对应的特征向量，则有x?0，使(AHA)x??x，且有
(Ax,Ax)?(Ax)H(Ax)?xH(AHAx)?(x,AHAx)?(x,?x)??(x,x)?0．
因 (x,x)?0，所以 ??0．
同理，可证AAH的特征值均为非负实数．显然，Hermite矩阵的特征值?是非负实数．
2）显然，AHA?Cn?n,AAH?Cm?m．设m?n，AAH和AHA的特征多项式分别记为fAA(?)和fAA(?)，因
HH?Em?0?A????Em?AH?En???A??Em??En???0A??AAH??Em????En???AHA????Em??H?En???A0??， ??En?0???Em?AH??，
AHA??En??HH则有 ?m?En?AHA??n?Em?AAH，即fAA(?)??(m?n)fAA(?)，
