第6讲 矩阵分解
内容：1. 矩阵的三角分解
2. 矩阵的满秩分解 3. 矩阵的QR分解 4. 矩阵的Schur定理
5. 矩阵的谱分解和奇异值分解
矩阵分解指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积．它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用．
§1 矩阵的三角分解
定义1.1 称A?(aij)n?n?a11?0??????0a12?a1n?a22?a2n??为上三角矩阵，?????0?ann?B?AT为下三角矩阵．特别地，称A（或AT）的对角元素为1
的上（下）三角矩阵为单位上（下）三角矩阵．三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质． 1.Gauss消元法
?a11?1?a12?2???a1n?n?b1?a??a????a??b2112222n12n元线性方程组? ，其矩阵形式 ?????an1?1?an2?2???ann?n?bn Ax?b，
其中：A?(aij)n?n?a11?a??21????an1a12a22?an2?a1n??a2n??，x???,?,?,??T，b??b,b,?,b?T． 12n12n?????ann?采用按自然顺序选主元素进行消元．假定化A为上三角矩阵的过程未用到行和列交换，按自然顺序进行消元，即进行行倍加初等变换，使
?a11?aA??21????an1a12a22?an2?a1n??a11a12?a1n??a11a12?a1n??0c??0c??a2n??c?c222n222n????????， ?????????????????????ann?0c?c00?en2nn?nn???a110a12c22?0,?,?n?1?0．称这种
其中顺序主子式：?1?a11?0，?2?对A的元素进行的消元过程为Gauss消元法． 2.矩阵的三角分解
定义1.2 如果方阵A可分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵R的乘积，则称A可作三角分解或LR分解，当L是单位下三角矩阵时，则称此分解为A的杜利特（Doolittle）分解；当R是单位上三角矩阵时，则称此分解为A的克劳特（Crout）分解．如果方阵A可分解成A?LDR，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，R是单位上三角矩阵，则称A可作LDR分解．
定理 1.1 n阶矩阵A有三角分解LR或LDR的充要条件是
A的顺序主子式不为零，即?r?0，（r?1,2,?,n?1）．n阶非奇异
矩阵A有三角分解LR或LDR的充要条件是A的顺序主子式都不为零，即?r?0，（r?1,2,?,n）．
注：矩阵的三角分解（A?LR）不是惟一的，而LDR分解是惟一的．
?a11?a设?21????an1a12a22?an2?a1n??10?0??r11?l??0?a2n?1?021?????????????????????ann??ln1ln2?1??0r12?r1n?r22?r2n??，则 ?????0?rnn?r1j?a1j,j?1,2,?,n；li1?ai1r11,i?2,3,?,n；
rkj?akj??lmkrmj,k?2,3,?,n;j?k,k?1,?,n；
m?1k?1lik?(akj??limrmk)rkk,k?2,3,?,n?1;i?k?1,?,n．
m?1k?1定理1.2 设A?Cn?n是Hermite正定矩阵，A?(aij)n?n，则存在下三角矩阵G?(gij)n?n，使A?GGH，如果G具有正对角元素的下三角矩阵，则此分解是惟一的．其中，
i?1??aii??gikgik,i?1,2,?,nk?1?j?1?gij??(aij??gikgjk)gjj,i?j．
k?1?0,i?j???称A?GGH为A的乔累斯基（Cholesky）分解(平方根分解、对称三角分解)．
?5?20??，?23?1例1.2 已知矩阵A????求A的Cholesky分解.
??0?11??解：可求得
0?5?20??5????25A???23?1115??????511?0?11???0??5??0??0?611???00?2??115?511?． 0611??50
§2 矩阵的满秩分解
将矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，在讨论广义逆矩阵的问题中是非常重要的．
定义2.1 设A?Cm?n，若A的秩r?m,则称矩阵A行满秩; 若A的秩r?n,则称矩阵A 列满秩.若矩阵A?Cr,存在矩阵
m?nF?Crm?r及G?Crr?n，有A?FG，则称A?FG为A的一个满秩分解
(或最大秩分解).
定理2.1 任一矩阵A?Crm?n,存在矩阵F?Crm?r及G?Crr?n，使得A?FG．
证明: 设rank(A)?r,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆
?矩阵Q使得PAQ????1Er?00??E?????E0?r?n,有 ????0?m?n?0?m?r?E??1A?P??0???E0?r?nQ, ??m?r?记F?P?1??E??1?,,则得A?FG. ??G?E0Qr?n??0?m?r显然，满秩分解是不唯一的.
定义2.2 设B?Crm?n，r?1，且满足：1）B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m?r)行的元素全为零（称为零行）；2） 若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第ji列(i?1,2,?,r)，则
j1?j2???jr; 3）矩阵B的第j1列，第j2列，…,第jr列合起来
恰为m阶单位方阵Em的前r列，称B为Hermite标准形（行阶梯
标准形）.
显然，?A?Crm?n可由初等行变换将其化为Hermite标准形，且使B前r行线性无关．
定理 2.2 设A?Crm?n的Hermite标准形为B，那么在A的满秩分解式中，F为A的第j1,j2,??,jr列构成的m?r矩阵，G为B的前r行构成的r?n矩阵．
例
?1230??，求其满秩分解． 021?12.1 设A??????1021???1021??12??1230??????011?1??B，于是 F??02?解： A??021?1?????22????10???1021???0000???，
?12??1021?1??02??102?A?FG?G??．容易验证：???0112?12?． ?011?1?????1022????可以将Hermite标准形进行推广，从而得到同一矩阵的不同满秩分解．
例
?1230??，求其满秩分解． 021?12.2 设A??????1021???1230??1230????021?1??B021?1解: A?? ， 于是 ??????1021????0000???10??01 F??????1?1???1230?，G???． 021?1??
