全国2012年1月自学考试高等数学（一）试题
课程代码:00020
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（ ）
x)?ex?e?xA.f(ex?e?x2
B.f(x)?2
C.f(x)?x3?cosx
D.f(x)?x5sinx
2.当x?0?时，下列变量为无穷小量的是（ ） 1A.ex B.ln x
C.x sin
1x D.
1xsinx 3.设函数f (x)=??ln(1?x), x?0x, x?0,则f (x)在点x=0处（ ） ?2A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在
D.左、右导数都不存在
4.曲线y=3x?2在x=1处的切线方程为（ ） A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0 C.x+3y-2=0
D.x+3y+2=0
5.函数f (x)=x2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值?=（ ） A.1 B.
65 C.
5D.34 2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1
26.函数f (x)=1???3?2x??5??的定义域为_________.
?27.设函数f (x)=??(1?x)x, x?0在点x=0处连续，则a=_________.
??acosx, x?08.微分d(e-2+tanx)=_________. 9.设某商品的需求函数为Q=16-4p，则价格p=3时的需求弹性为_________. 10.函数f (x)=x-2cos x在区间[0,
?2]上的最小值是_________. 11.曲线y=x2?2x?3x2?1的铅直渐近线为_________. 12.无穷限反常积分
???2x01?x4dx=_________. 13.微分方程xy′-2y=0的通解是_________. 14.已知函数f (x)连续，若?(x)=x
?x1f (t)dt，则?′(x)=_________.
15.设函数z=sin(xy2)，则全微分dz=_________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求数列极限lim(621n??n?2)sin3n2?1.
17.设函数f (x)=1?x2arctan x-ln(x+1?x2)，求导数f′(1). 18.求极限limx?sinxx?01?x3?1.
19.求不定积分?x3lnx dx.
20.设z=z(x，y)是由方程xz+y2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数?z?x.
(0,0)四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.确定常数a,b的值，使得点(1,
12)为曲线y=14x3?ax2?bx?1的拐点.
2
?22.计算定积分I=
?20cosx?cos3x dx. 23.计算二重积分I=
??11?x4dxdy，其中D是由曲线y=x3，
Dx=l及x轴所围成的区域，如图所示. 五、应用题（本题9分）
24.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域， 如图所示. (1)求D的面积A.
(2)求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.
六、证明题（本题5分） 25.证明：当x>0时，e2x>1+2x.
知识点：函数单调性解： 解：
设f?x??e2x?1?2x，则f?0??0,其导数 f'?x??2e2x?2因为当x>0时f'?x??0，所以f?x?当x>0时单调增加，
从而当x>0时f?x??f?0?，即e2x?1?2x.
3
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1 答案：B
知识点：函数奇偶性
e?x?exex?e?x解： f(?x)?为偶函数 ?f(x)故f(x)?22e?x?exex?e?x为奇函数 f(?x)???f(x)，故f(x)?223f(?x)???x??cos??x???x3?cosx，()x?soc?x故fx3为非奇
非偶函数
f(?x)???x?sin??x??x5sinx?f(x)，故f(x)?x5sinx5为偶函数 2,答案：C 知识点： 无穷小量 解：
4
3,答案：知识点：导数的定义解：
4.答案：知识点：曲线的切线方程解：
C
A
1xxlim?0?e???xlim?0?ln x=-?xlim?0?x sin1x =0 xlim1?0?xsinx=1f(x)???ln(1?x), x?0?x2, x?0,法一：fx2?0?'(0)?limx?0?x?0?0 fln(1?x)?0x?'(0)?limx?0?x?0?limx?0?x?1法二：f?'(0)?2xx?0?0 f1?'(0)?1?x?1x?0所以原函数的左右导数都存在，但不可导所求切线斜率为：y'?1?213?x?2?3?x?13所求切线方程为y+1=13?x?1?即x?3y?4?05
