EF相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN． 【问题解决】
（1）求∠NBC的度数；
（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）． （3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．
【考点】翻折变换（折叠问题）；作图—应用与设计作图． 【专题】计算题．
【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到点P为BM的中点，即BP=PM，再根据矩形性质得∠BAM=90°，∠ABC=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得PA=PB=PM，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM得到PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，利用等要三角形的性质得∠2=∠4，利用平行线的性质由EF∥BC得到∠4=∠3，则∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°；
（2）利用互余得到∠BMN=60°，根据折叠性质易得∠AMN=120°； （3）把30度的角对折即可．
【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴点P为BM的中点，即BP=PM， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAM=90°，∠ABC=90°， ∴PA=PB=PM，
∵折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM， ∴PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°， ∴∠2=∠4， ∵EF∥BC， ∴∠4=∠3， ∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°， 即∠NBC=30°；
31
（2）通过以上折纸操作，还得到了∠BMN=60°，∠AMN=120°等； （3）折叠纸片，使点A落在BM上，则可得到15°的角．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．
27．如图①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD、BC相交于点E，过点E作EF⊥BD． （1）猜想
、
、
这三个量之间的数量关系并证明．
（2）若将图①中的垂直改为斜交，如图②，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，试问（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． （3）试找出
S
△
ABD
，S
△BED
，S
△BDC
之间的关系式，并说明理
由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）易证EF∥AB∥CD，则△ABD∽△EFD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得同理
=
，两式相加即可得；
=
，
（2）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（3）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【解答】解： （1）
+
=
，
证明如下： ∵AB⊥BD，EF⊥BD， ∴EF∥AB，
32
∴△ABD∽△EFD， ∴∴∴
=++
，同理==
+；
==
， =
=1，即（
+
）?EF=1，
（2）成立． 理由如下： ∵AB∥EF， ∴
=
，
∵CD∥EF， ∴∴∴
=++
， ==
+；
+
=
．
=
=
=1，即（
+
）?EF=1，
（3）关系式为：证明如下：
如图，分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由（1）可得： +=，
∴+=，即+=，
又∵BD?AM=S△ABD， BD?CK=S△BCD， BD?EN=S△BED， ∴
+
=
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确通过相似三角形的性质把线段的比进行转化是关键．同时考查了平行线分线段成比例定理的运用．
33
山东省XX市四校联赛2017-2018学年八年级下学期期末考试 数学模拟试卷（三） （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本题共10小题，满分共30分） 1．二次根式12、12 、30 、x+2 、40x2、x2?y2中，最简二次根式有（ ）个。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4个 2.若式子x?2有意义，则x的取值范围为（ ） x?3A、x≥2 B、x≠3 C、x≥2或x≠3 D、x≥2且x≠3 3．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） 111113,4,54,7,822 A．7，24，25 B．222 C．3，4， 5 D．4、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B. AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC 5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F， F_ _ A_ D则∠1＝（ ） A．40° B．50° _ 1_ B_ E_ CC．60° D．80° 6、表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是（ ） y （2，2） （－1，1） y1y2 x 147.如图所示，函数y1?x和y2?x?的图象相交于 33（－1，1），（2，2）两点．当y1?y2时，x的取值范围是（ ） 221x1?x?x2?x???xn?x8、 在方差公式S?n2O A．x＜－1 B．—1＜x＜2 C．x＞2 D． x＜－1或x＞2 ????????中，下列说法不正确的是（ ） 2 A. n是样本的容量 B. xn是样本个体 C. x是样本平均数 D. S是样本方差 9、多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课本数9080706050403020100某班学生1～8月课外阅读数7083外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ） 8585875361242282 133445566778月份34 A.极差是47 B.众数是42 C.中位数是58 D.每月阅读数量超过40的有4个月 10、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为【 】 A5A． 45C． 3 5B． 26D． 5FEBMPC二、填空题（本题共10小题，满分共30分） ?3?0 11．48-?+-3-3?2= 3(3?1)??3???12. 平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝ cm。 13.在直角三角形ABC中,∠C=90°,CD是AB边上的中线,∠A=30°,AC=53,则△ADC的周长为 ____. 14．边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ） ?1AOB DC15、如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=6，DB=8 则四边形ABCD是的周长为 。 16.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ． 17. 某一次函数的图象经过点（?1，3），且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式______________________． 18．)某市2007年5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为:25,28,30,29,31,32,28,这周的日最高气温的平均值是_______ 19.为备战2011年4月11日在绍兴举行的第三届全国皮划艇马拉松赛，甲、乙运动员进行了艰苦的训练，他们在相同条件下各10次划艇成绩的平均数相同，方差分别为0.23,0.20， 则成绩较为稳定的是 （选填“甲”或“乙） 20.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°?按此规律所作的第n个菱形的边长是 . 三．解答题： 35
