全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 力学
第16届预赛题.
1.（15分）一质量为M的平顶小车，以速度v0沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为?。
1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？ 2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？ 参考解答
1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即
Mv0?(m?M)v （1） 从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即
12mv??mgs1 （2） 2其中s1为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即
1212Mv?mv0???mgs2 （3） 22其中s2为小车移动的距离。用l表示车顶的最小长度，则
l?s2?s1 （4） 由以上四式，可解得
2Mv0 l? （5）
2?g(m?M)2Mv0即车顶的长度至少应为l?。
2?g(m?M)2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即
2 W?(m?M)v2?Mv0 （6）
1212由（1）、（6）式可得
1
2mMv0 W?? （7）
2(m?M)
2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为?1和?2（?1??2）。现让一长为L、密度为(?1??2)的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为
123L，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于4木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。 参考解答
1．用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力(?1??2)?LSg和向上的浮力?1LSg。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度
a1?12?2??1g （1）
?1??2用t1表示所需的时间，则
312 （2） L?a1t142由此解得
t1?3L(?1??2) （3）
2(?2??1)g2．木棍下端开始进入下面液体后，用L'表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为(?1??2)?LSg，但浮力变为?1L?Sg??2(L?L?)Sg．当L?L'时，浮力小于重力；当L'?0时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用L0?表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有
(?1??2)?LSg??1L0?Sg??2(L?L0?)Sg （4） 由此可得
1212L0??L （5） 2即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面
2
上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标z?0时，木棍所受合力为零．当中点坐标为z时，所受合力为
??11??1???(?1??2)?LSg???1?L?z?Sg??2?L?z?Sg???(?2??1)Sgz??kz 2??2????2式中 k?(?2??1)Sg （6） 这时木棍的运动方程为
?kz?(?1??2)LSaz
12az为沿z方向加速度 az??2(?2??1)gz???2z
(?1??2)L ?2?2(?2??1)g （7）
(?1??2)L由此可知为简谐振动，其周期 T?2???2?(?1??2)L （8）
2(?2??1)g为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A．木棍下端刚进入下面液体时，其速度
v?a1t1 （9） 由机械能守恒可知
1?111? ?(?1??2)SL?v2?kz2?kA2 （10）
2?222?式中z?1L为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得v，再2将v和（6）式中的k代人（10）式得
A?L
（11）
由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的?为30?，对应的时间为T/12。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从z?LL到z??所用的时间为 22 3
t2?2T?(?1??2)L （12） ?1232(?2??1)g3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与a1一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间
t3?t1 （13） 4．总时间为
t?t1?t2?t3?
第17届预赛题.
1.（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P，在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、
66?2?6(?1??2)L （14）
(?2??1)gB之间和B、P之间的距离皆为L。设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为?；A、B、C（连同挡板P）的质量相同．开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度v0应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．
（1）物块A与B发生碰撞；
（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞； （3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞；
（4）物块A从木板C上掉下来； （5）物块B从木板C上掉下来． 参考解答
1. 以m表示物块A、B和木板C的质量，当物块A以初速v0向右运动时，物块A受到木板C施加的大小为?mg的滑动摩擦力而减速，木板C则受到物块A施加的大小为物块则因受木板C?mg的滑动摩擦力和物块B施加的大小为f的摩擦力而做加速运动，
施加的摩擦力f作用而加速，设A、B、C三者的加速度分别为aA、aB和aC，则由牛顿第二定律，有
4
?mg?maA ?mg?f?maC f?maB
事实上在此题中，aB?aC，即B、C之间无相对运动，这是因为当aB?aC时，由上式可得
f?1?mg （1） 2它小于最大静摩擦力?mg．可见静摩擦力使物块B、木板C之间不发生相对运动。若物块A刚好与物块B不发生碰撞，则物块A运动到物块B所在处时，A与B的速度大小相等．因为物块B与木板C的速度相等，所以此时三者的速度均相同，设为v1，由动量守恒定律得
mv0?3mv1 （2）
在此过程中，设木板C运动的路程为s1，则物块A运动的路程为s1?L，如图预解17-8所示．由动能定理有
1212mv1?mv0???mg(s1?L) （3） 2212(2m)v1??mgs1 （4） 2或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3）与（4）式等号两边相加），即
22 (3m)v1?mv0???mgL （5）
1212式中L就是物块A相对木板C运动的路程．解（2）、（5）式，得
v0?3?gL （6） 即物块A的初速度v0?3?gL时，A刚好不与B发生碰撞，若v0?3?gL，则A将与B发生碰撞，故A与B发生碰撞的条件是
v0?3?gL （7）
2. 当物块A的初速度v0满足（7）式时，A与B将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A、B、
5
