???1?2sin(2x?)?2 4??? ∴当2x??，即x?时，f(x)有最大值2. ………13分
428
16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA?
底面ABCD，且PA?2，E是侧棱PA上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥P?ABCD的体积；
(Ⅱ) 如果E是PA的中点，求证PC∥平面BDE； (Ⅲ) 是否不论点E在侧棱PA的任何位置，
都有BD?CE？证明你的结论．
解：（Ⅰ） ∵PA?平面ABCD，
∴VP?ABCD?1S正方形ABCD?PA ……………………………2分 3 ?1222?1?2?即四棱锥P?ABCD的体积为. …………4分 333（Ⅱ） 连结AC交BD于O，连结OE．∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE． …………………6分
PC?平面BDE,OE?平面BDE ∴PC∥平面BDE．………9分
（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD?CE. ……………………10分
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD?AC．
∵PA?底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD?PA． ……12分 又∵ACPA?A，∴BD?平面PAC． ……………13分
∵不论点E在何位置，都有CE?平面PAC. ∴不论点E在何位置，都有BD?CE. ……14分 17．（本小题满分13分）
联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议， 分组研讨时某组有6名代表参加，A、B两名 代表来自亚洲，C、D两名代表来自北美洲，
E、F两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言．
（Ⅰ）代表A被选中的概率是多少？
11
（Ⅱ）选出的两名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的概率是多少？ 解：（Ⅰ）从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为（A，B），（A，C），
（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）,（B，D），（B，E），（B，F），（C，D）， （C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）． …………………2分
其中代表A被选中的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F）共5种，
……………………………4分
则代表A被选中的概率为
51?． ……………………………6分 153（Ⅱ）解法一：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果
有9种，分别是（A，C），（A，D），（B，C）,（B，D），（C，E），（C，F）， （D，E），（D，F），（E，F）． ……………………………9分 “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为
93?． 1558； 15……………………………13分
解法二：随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲”的结果有8种，概率为
……………………………8分
1．…10分 15813??． “恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为
15155随机选出的2名代表“都来自非洲”的结果有1种，概率为
……………………………13分
18.（本题满分13分）已知函数f(x)?a2x?lnx， 21恒成立，求a的取值范围． 2（1）若a?1，证明f(x)没有零点； （2）若f(x)?【答案】（I）a?1时f(x)?121x?lnx(x?0)，f'(x)?x? 2x由f'(x)?0，得x?1，可得f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 故f(x)的最小值fmin(x)?f(1)?1?0，所以f(x)没有零点 21ax2?1（II）方法一： f'(x)?ax??
xx（i）若a?0时，令f'(x)?0，则x???1?11?0,,??，故f'(x)在?上单调递减，在??????a? aa????111)??lna， a2212
上单调递增，故f(x)在?0,???上的最小值为f(
要使解得f(x)?1111恒成立，只需?lna?，得a?1 2222（ii）若a?0，f'(x)?0恒成立，f(x)在?0,???是单调递减，f(1)?故不可能f(x)?
19.（本小题共13分）
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）. （3） 求椭圆C的方程；
a?0， 21恒成立 综上所述，a?1 . 2（4） 若直线l:y?kx?2与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2(其中
O为原点)，求k的取值范围.
解：（1）由题意可得：a?2,c?3
x2?y2?1 ?b?a?c?4?3=1 所求的椭圆方程为：422?x221??y?122（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) 由?4 得：(?k)x?22kx?1?0
4?y?kx?2??x1?x2??22k1,x1x2?（*）
11?k2?k244111??(22k)2?4?(?k2)?0 解得：k?或k??
422由OA?OB?2 可得：x1x2?y1y2?2
x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?2
整理得：(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?0
4?12k2(?22k)?0 ?2k??0即：把（*）代入得：(1?k)?2111?4k?k2?k24421解得：?33?k? 33 13
综上：k的取值范围是：-3113 ?k??或?k?32232x19． 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1 有2两个不同的交点P和Q. (Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量OP?OQ 与AB共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得x?(kx?2)2?1.
2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①………………………… 3分
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2. 222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?222)(,??) ……… 6分 22 (Ⅱ)设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2), 由①得x1?x2??42k2. ②
1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③
因为A(2, 0)，B(0, 1)， 所以AB?(?2, 1).………………………… 10分 所以OP?OQ与AB共线等价于 x1?x2=-2(y1?y2). 将②③代入上式，解得k?2. 2 所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与AB共线. …………………… 13分 20.（本小题共14分）
23n? 已知函数f(x)?a1x?a2x?a3x???anx,(n?N)，又是f(1)?n。
2（1）求数列{an}的通项公式； （2）求f()。 解：（1）令Sn?f(1)?a1?a2?a???an，则Sn?n 当n?1 时， a1?S1?1；
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213 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1 ?a1?1满足上式， ?an?2n?1
1111?3?2?53???(2n?1)n， （1） 33331111111 ?f()?1?2?3?3?55???(2n?3)n?(2n?1)n?1 （2
333333321111111（1）?(2)?f()?1??2?2?2?3?25???2?n?(2n?1)n?1
（2）?f()?1?13333333331 ?13?2n?12(1?13n?1)22n?23n?1?2?3??1?133n?1 ，
3 故：f(1n?13)?1?3n。
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