边长/厘米 1 2 3 面积/平方厘米 1 根据正方形的周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填完整,并根据问题观察表中填好的数据,思考应该怎样解答?
学生填表,相互交流、讨论。 师:表中有哪两种量? 生1:周长和边长。 生2:面积和边长。
师:你发现它们是怎样变化的?
生1:正方形的周长随着边长的增加而增加。 生2:正方形的面积也是随着边长的增加而增加。
生1:周长总是边长的4倍,而面积与边长的商在发生变化。
生2:错误！未找到引用源。=4,错误！未找到引用源。=4,周长与边长的比值不变。 生3:错误！未找到引用源。=1,错误！未找到引用源。=2,面积与边长的比值不相等。 生4:可用错误！未找到引用源。=4表示,也就是说在变化过程中,周长与边长的比值是一个定值4,是不变的。
师:周长和边长、面积和边长之间的变化规律相同吗?什么不变?
生:在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍,也就是说比值一定;而正方形的面积与边长的比值不同,与正方形的周长与边长的变化规律不同。
小组讨论交流汇报。
【设计意图:通过观察、比较、讨论使学生进一步感知两种变化的量的关系,为认识正比例的意义奠定基础】
2.课件出示教材第41页第二个问题及表格。
时间/时 路程/千米 1 90 2 180 3 270 4 360 5 6 7 周长/厘米 4 师:你能把表格填写完整吗? 学生独立完成。
师:说一说你是根据什么来填的?(小组交流) 生:路程÷时间=90。
师:观察路程与时间这两种量,你发现了什么规律? (小组讨论、交流)
生1:路程随着时间的变化而变化。
生2:路程÷时间=90(一定),即路程与时间的比值(也就是速度)一定。 师:从上面两个例题中,你发现它们有什么共同特征?
生:它们都是两个相关联的量,一个量随着另一个量的变化而变化。
师:好!像路程和时间这两个量,时间变化,所行驶的路程也随着变化,且路程与时间的比值
(速度)一定,我们就可以说路程和时间成正比例。(板书:正比例)
师:第一个问题中,正方形的周长与边长成正比例吗?
生1:正方形的周长随边长的变化而变化,并且周长与边长的比值都是4,所以正方形的周长与边长成正比例。
生2:正方形的面积虽然也随边长的变化而变化,但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。
师:很好,接下来大家在小组内说一说生活中还有哪些量成正比例。 学生交流、讨论。
师:如果两个量成正比例,那么它们需要符合哪些条件呢? 生1:两种量必须是相关联的量。
生2:一种量变化另一种量也要随着变化,并且这两个量的比值(商)一定。
正 比 例
正方形的周长和边长的比值一定 正方形的面积和边长的比值不一定
路程和时间的比值一定
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量的比值一定,我们就说
这两种量成正比例。
1.学生理解正比例的意义往往比较困难,引导学生了解正比例在生活中的广泛存在十分重要。
2.正比例关系是非常重要的一种数量关系,学好正比例关系,不仅可以加深对比例知识的理解,解决一些实际问题,而且还渗透了函数思想,为学生今后的学习奠定了基础。
A 类
填空。(填“成”或“不成”)
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量( )正比例。 (2)三角形的底一定,它的面积和高( )正比例。
(3)食堂买回150吨煤,烧了的煤与剩下的煤( )正比例。 (4)出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数( )正比例。
(考查知识点:理解正比例的含义;能力要求:能正确判断两个相关联的量是否成正比例)
B 类
下面是一些有关圆的数据,你能说出哪两种量成正比例吗?说明理由。
半径/米 直径/米 1 2 2 4 3 6 4 8 周长/米 面积/平方米 6.28 3.14 12.56 12.56 18.84 28.26 25.12 50.24 (考查知识点: 成正比例的量的变化规律及其特征;能力要求:会根据正比例的意义解决实际问题)
课堂作业新设计
A 类:
(1)成 (2)成 (3)不成 (4)成 B类:
在同一个圆中,直径和半径成正比例,周长和直径成正比例,周长和半径成正比例。 教材第42页“练一练”
1.(1)竿影的长随着竹竿的高的增加而增长。(2)0.4∶1=0.8∶2=1.2∶3=2.4∶6=3.2∶8=0.4 比值都相等。
(3)成正比例 因为竿影的长与竹竿的高度的比值都是0.4 (一定),所以成正比例。 2.平行四边形的面积和高成正比例,因为面积与高的比值是6(一定)。 3.原因略 (1)成正比例 (2)不成正比例 (3)不成正比例
4.2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 发现邮票的数量增加,应付的钱数也随着增加。 应付金额与所买邮票的数量成正比例。
画一画。(教材第44~45页)
1.在具体情境中,通过“画一画”的活动初步认识正比例图像。
2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应另一个变量的值,提高学生分析问题的能力。
3.利用正比例关系解决生活中的一些简单问题,培养学生善于思考和积极参与的良好习惯。
重点:会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,理解用图像认识正比例关系,并能根据其中一个量的值得出另一个变量的值。
难点:能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值。
课件。
师:前面我们已经学习了有关正比例的知识,请同学们判断下面各题中的两个量是否成正比例?
(1)每行人数一定,总人数和行数。 (2)长方形的长一定,宽和面积。 (3)长方体的底面积一定,体积和高。 (4)分子一定,分母和分数值。 (5)长方形的周长一定,长和宽。 (6)一个自然数和它的倒数。
师:今天老师要带你们去看一场电影,你们高兴吗?(生齐:高兴)那我来问你,假设每人的票价是2元,我们全班45人,一共需要带多少元钱呢?
师:请同学们打开教材第44页,填写表格。(课件出示教材第44页第1个问题) 学生填写,教师巡视,帮助有困难的学生。 师:观察表中的数据,你有什么发现?
生1:所付票费随着看电影人数的增加而增加,且人数扩大2倍,票费也扩大2倍。 生2:所付票费与看电影的人数的比值是2,所以它们成正比例。
师:你们说得很好,那么能不能用图来表示这种关系呢?(课件出示教材第44页第2个问题)你准备怎样观察?发现了什么?
生1:看看横轴表示什么,纵轴表示什么?
生2:横轴表示看电影的人数,纵轴表示所付的票费。 生3:我发现横轴上1格表示1人,纵轴上1格表示1元。 生4:每一个点都有对应的一组数。
师:下面我们分小组来观察,完成后面的问题。(课件出示教材第44页第3个问题) 要求:
①学生先独立完成,再在小组内交流。 ②有困难的学生可以举手寻求帮助。 ③每组要提出一个问题,挑战其他组。 ④连接各点,你有什么发现? 小组开始交流,教师巡视。 小组汇报。
小组1:点A表示5人看电影所付票费是10元,也就是5的2倍是10。 师:哪个小组能根据表格说说其他各点的意思? 小组2:我们小组发现所描的点都在同一条直线上。 师:为什么会在同一条直线上呢?
生:因为纵轴上的数是横轴上的2倍,每次增加的都一样。 师:如果有一个点是(100,200),那么这个点是否也在这条直线上呢?
生:因为这个点表示100人看电影的票费是200元,纵轴上的数也是横轴上的2倍,所以这个点也在这条直线上。
师:当一个数按固定倍数随另一个数增长时,所绘出的图形是一条直线。 (课件出示:按顺序连接个点)
师:这节课你们学到了哪些知识?
生1:用图的形式可以直观地表示两个成正比例的量的变化关系。 生2:当两个变量成正比例时,所绘成的图像是一条直线。 生3:利用图可以进行估算,利用估算可以解决一些实际问题。
画 一 画
正比例图像是一条通过原点的直线。
图像上任意一点都能在横轴和纵轴上找到相对应的点,以此来解决实际问题。
本节课的教学主要是在具体情境中,通过“画一画”的活动,使学生初步认识正比例图像,会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应的另一个变量的值,进而解决生活中的一些简单问题。 教学中,我主要让学生先读懂图的意思,如横轴、竖轴表示什么,各个点所表示的意义是什么,经过了解之后再让学生连接各点,谈谈自己的发现,学生会形象地看到所描的点都在同一条直线上。
在教学中给学生充分操作的空间,让学生谈谈自己的发现,鼓励学生利用图进行一些估计,进而解决一些实际问题。
A 类
下图表示的是一根水管不停地向水箱注水,水箱内水的体积的变化情况。
