P2?342318????. 5555253412??； 5525????8分
（III）甲取得比赛胜利共有三种情形：
若甲胜乙，甲胜丙，则概率为
313327????； 5555625224348. 若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为????55556251227483???. 所以，甲获胜的概率为
256256255若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为
19、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次．．．
正面均朝上的概率为
1. 27 （1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的
总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.
（1）解：设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有：
3C3?P3?1.271可得P?.
3所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为
122P?C32?()2??.??????????????????6分
339 （2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4.
2140P(??0)?C3?()3??;3227211211001 P(??1)?C3?()3??C3??()2??;323322712112191P(??2)?C3??()2??C32?()2???;332332271211173P(??3)?C32?()2???C3?()3??;3323254
1113P(??4)?C3?()3??.3254所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 4
4109 2727274109713Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.
272727545427 541 5420、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取
2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设?为取出的4个球中红球的个数，求?的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为
黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
22CC12.????????????? 3分 34 且 P(A)?, P(B)???22C42C65 所以取出的4个球均为黑球的概率为
121P(A?B)?P(A)?P(B)???.???????????? 4分
255（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红
球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且
1112C32C2C3?C4C44, 1P(C)?2?2?P(D)?2?2?.??????? 7分
C4C615C4C65 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P(C?D)?P(C)?P(D)?4?1?7. ???????????? 8分
15515（Ⅲ）设?可能的取值为0,1,2,3.
1 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得P(??0)?1, P(??1)?7,P(??3)?C3?1?1.
22515C4C630 所以P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?3. ??????? 11分
10 ?的分布列为
? 0 1 2 3
P
1
57 153 101 3031. 7 ∴ ?的数学期望 E??0?1?1?7?2??3??5151030621、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)袋中装有大小相同的2个白球和3个
黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记?为摸出两球中白球的个数，求?的期望和方差.
解：（Ⅰ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
2， 53摸出一球得黑球的概率为， 4分
5233212. 5分 ∴ P（A）＝×＋×＝
55552512. 答：两球颜色不同的概率是25摸出一球得白球的概率为
（Ⅱ）由题知?可取0，1，2， 6分
依题意得
32332233211P(??0)???,P(??1)?????,P(??2)???， 9分
54105454554103314?，11分 则E??0??1??2?105105?4?3?4?3?4?19D???0?????1?????2????. 13分
?5?10?5?5?5?1025答：摸出白球个数?的期望和方差分别是
222245，
925.
22、f1(x)?x,f2(x)?x,f3(x)?x,f4(x)?sinx,f5(x)?cosx,f6(x)?lg(x?1). （Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇
函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数?的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）计事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，
3C321所以P(A)?2?.??????????????4分
C65111C3C3C313 （Ⅱ）?可取1，2，3，4． P(??1)?1?,P(??2)?1?1?，
C62C6C5101111111C3C3C3C3C2C2C131；????8分 P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?C6C5C420C6C5C4C320故ξ的分布列为 ξ P
1 2 3 4 1 2
3 103 20????10分
1 20E??1?133177?2??3??4??. 答：?的数学期望为. 21020204423、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得?1分 . 现从盒内任取3个球.
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设?为取出的3个球中白色球的个数，求?的分布列和数学期望.
（Ⅰ）解：
记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A， 则
11C122C3C4. ………….. P(A)??3C973分
（Ⅱ）解：
记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C， 则
21C1C252C32C4P(B?C)?P(B)?P(C)?3?3?. ………….. 6
C9C942分
（Ⅲ）解：
?可能的取值为
0，，，. ………….. 7分
2C3C154563C6， P(??0)?3?， P(??1)?3?C921C98421C3C63C313P(??2)?3?， P(??3)?3?. …………..
C914C98411分
?的分布列为:
? P .. 12分
0 1 2 3 5 2145 843 141 84 …………
?的数学期望E??0?54531?1??2??3??1. 2184148424、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进
行，每个阶段选手要回答一个问题。规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭311淘汰。已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,,，且各阶段通过与否相互
424独立。
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为?，求?的数学期望和方差。
25、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，
共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？ (2)若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望。
2解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为C50?1225，
选出的2人所使用版本相同的方法数为
2222=190+105+10+45=350， C20?C15?C5?C10?2人所使用版本相同的概率为
3502?………………………………………………..6分 122572C153（2）?P(??0)?2?，
C351711C20?C1560， P(??1)??2119C35
