1-26 已知随机变量X,Y的联合特征函数为
6QXY(u,v)?6?2ju?3jv?uv
求：①随机变量X的特征函数 ②随机变量Y的期望和方差
3QX(u)?QXY(u,0)?解：①3?ju
2QY(v)?QXY(0,v)?②2?jv
kdQX(u)E[Xk]?(?j)kduku?0
dQY(v)2j?2dv?2?jv?d2QY(v)4jv?8?24dv?2?jv?
dQY(v)1E[Y]?(?j)?duv?022dQY(v)1E[Y2]?(?j)2?du2v?02
1-28 已知两个独立的随机变量X,Y的特征函数分别是QX(u)和
QY(u)，求随机变量Z?3(X?1)?2(Y?4)特征函数QZ(u)？
解：
特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积
X、Y独立，
因此有 3(X?1)和2(Y?1)独立
独立的等价条件（充分必要条件）
① fXY(x,y)?fX(x)?fY(y)
knkn?k?1,n?1?E(XY)?E(X)E(Y) ②
③ QX(u1,u2)=QX?u1??QX?u2?
121-29 已知二维高斯变量(X,X)中，高斯变量X,X的期望分别为
12122m1,m2，方差分别为?12,?2，相关系数为?。令
X1?m1Y1?,?1?X2?m2X1?m1?Y2????? 2??21?1???1① 写出二维高斯变量(X1,X2)的概率密度和特征函数的矩阵形
式，并展开； ② 证明(Y1,Y2)相互独立，皆服从标准高斯分布。
X1?m1X1?,解：?1X2?m2X2??2
?X1X2?? X1~N(0,，1X)2~N(0,1)，
Y1?X1,Y2?11??2?X2??X1?
??1? 1??2??01??A?系数矩阵????1??2????Y?AX，线性变换，故Y也服从高斯分布
???0?MY?AMX???
?0??1CY?ACXA?A???T???10??A??? 1?01??TCij?0(i?j)，故Y1Y2不相关，
高斯变量不相关和独立等价，Y1Y2独立
1-30 已知二维高斯变量(X1,X2)的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为?。令
?Y1??X1??X2??Y2??X1??X2
其中??0,??0为常数。①证明：(Y1,Y2)服从二维高斯分布； ②求(Y1,Y2)的均值和协方差矩阵； ③证明：Y1,Y2相互独立的条件为????。
复习： n维高斯变量的性质
1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
2
解：① ? Y 1 ? ? ? ? ? ? ? X 1????????
?Y2???????X2? 22???????????0????T2C?ACA??M?AM??2YX② YX?0?2???????
③Y1,Y2相互独立、二维高斯矢量 因此Y1,Y2互不相关 只要证CY为对角证
22????0?????即
?2??2??22?????
1-31
?X?????1??X?X?2?均值为常矢量a，已知三维高斯随机矢量方差阵??X3???22?2??B??25?4?? 为
???2?44??证明：X1,X2?X1,X13?2X23?X3相互独立。
复习： n维高斯变量的性质
1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的 2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
????Y1??X1??????Y??Y2????X1?X2? 思路：设随机矢量
????Y3???1X?2X?X?1233?3?
????由性质可得Y为三维高斯变量，求得方差阵CY为对角阵
CY?ACXA
??1?A???1?1??30123?0??0??0????2?CY??0??0??00??30?2?0?3?T
