1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为
1?xfX(x)?e2求其数学期望与方差？
,???x???
解:
1?xE?X???xfX(x)dx??xedx?0奇函数????2?2?21?x2?E??X?????xfX(x)dx????x2edx偶函数????xedx??xe00?2?x?2?x???0??edx20
??x??e??x?2xdx?x??2xe????0?2?edx?20??x
1-20 已知随机变量X可能取值为{?4,?1,2,3,4}，且每个值出
现的概率均为15。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量Y?3X2的概率密度？③Y的数学期望和方差？
①③ ?E[X]??xkpk k?1
E[g(X)]??g(xk)pkk?1??E[X2]2 2D?X??E[X]?E[X] 答案: ② Y P
3 1/5
12 1/5
27 1/5
48 2/5
4462142E[X]?E[X]?D?X??552513884062E[Y]?E[Y]?1098D?Y??525
离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式
?f?x???pk??x?xk? 其中??x????k?1??0,x?0 ,x?0为冲激函数
1fY?y?????y?3????y?12????y?27??2??y?48??
5
1-22 已知两个随机变量X,Y的数学期望为mX?1,mY?2，方
22??4,?差为XY?1，相关系数?XY?0.4。现定义新随机变量
V,W为
?V??X?2Y? ?W?X?3Y求V,W的期望，方差以及它们的相关系数？
E?V??3E?W??7E?aX?bY??aE?X??bE?Y?D?V??4.8D?W??17.8D?aX?bY??a2D?X??b2D?Y??2abCXY
?XY?
CXY?X?Y 0.13
1-23 已知随机变量X,Y满足Y?aX?b，a,b皆为常数。证明： ① CXY?a?；②
2X?XY?1a?0??；③ ?1a?0?aE[X2]当mX?0且b??E[X]时，
随机变量X,Y正交。
m① CXY?RX?YmX
E?Y??E?aX?b??amX?b2??E?XY??E?XaX?b?aEX????????bmX
?CXY＝a?X2
②?XY???
XYD?Y??D?aX?b??a2D?X??a2?X2
CXY?XY?
CXY?X?Y?a?X2?X?a2?X2a?a
③正交?RXY＝0
?E?XY??aE?X2??bmX????aE[X2]?b??E[X]?
?得证
1-25 已知随机变量X,Y相互独立，分别服从参数为?1和?2的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明
Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布。
解：① 泊松分布
e???kP?X?k???k!k?0?
juk特征函数的定义 QX?u??E??e????e?k!?e?e??k?0k?0juX??????k???e?k!juk
xk由e??k!(1-17
k?0x?题用过) 可得QX?u??e?eju?1???e?eju?e?(eju?1)??dQX?u?deE?X????j????j?duu?0du2E?X??????j?22??u?0
??2??
??dQX?u?2de???j?2duu?0d2uju2?e?1u?0
②根据特征函数的性质，X Y相互独立，
QZ?u??QX?u??QY?u??e(?1??2)(eju?1)
表明Z服从参数为?1??2的泊松分布
