（2）?dxx?x?1??1??1?dx?lnx?lnx?1?C ????xx?1?xx+1＝ln+C
【例3】 求?2?3?5?23xxxdx
xx??2???2?1?C 解 原式＝??2?5????dx?2x?5??2?3???3?ln???3?2?5???3??C ＝2x?ln2?ln3x
【例4】 求下列不定积分 （1）?tanxdx （2）?222dxsinxcosx22
解 （1）?tanxdx＝??secx?1?dx?tanx?x?C （2）?1sinxcosx22dx??sinx?cosxsinxcosx2222dx??1??1??cos2xsin2x?dx
??＝tanx-cotx+C
二、第一换元积分法
【例1】 求下列不定积分 （1）?1x(x?1)ndx（n＞1，正整数） （2）?1?x?xnnn2x?3x?x?12dx
解 （1）原式＝?1nx(x?1)dx??xdx??x?C
1xnn?1?1dx
＝lnx?lnx?1?C?lnnxnx?1n（2）原式＝??2x?1??2x?x?12dx??d?x?x?1?2x?x?12?2?dxx?x?12
＝ln?x?x?1??2?21??d?x??2???3?1????x????22????22
＝ln?x2?x?1??433arctan2x?13?C
【例2】 求下列不定积分 n=1,2,3,4,5,6 （1）?cosxdx （3）?sinxcosxdx （5）?secxdx
1?1?cos2x?4（1）?cosxdx???dx??24??24254（2）?cosxdx （4）?sinxcosxdx （6）?tanxdx
????1?2cos2x?cos?2x??dx
24245 ?11??1?2cos2x?1?cos4x?????dx 4?2? ?（2）?cosxdx?538x?14sin2x?22132sin4x?C ??1?sinx?dsinx?23sinx?3??1?2sin2x?sinx?dsinx
4 ?sinx?
15sinx?C
5（3）?sinxcosxdx??sinx?1?sinx?dsinx?25222??sin2x?2sinx?sinx?dsinx
46 ?2413sinx?143252sinx?517sinx?C
1?1?cos4x??1?cos2x????4?22????dx ?7（4）?sinxcosdx??sin1?2x??cos2xdx? ???1?cos2x?cos4x??cos2x??cos4x???dx ?161??1?cos2x?cos4x?cos6x?cos2x?????dx 16?2?1?1111?x?sin2x?sin4x?sin6x?sin2x?C ??16?24124?1 ? ?
（5）?secxdx?（6）?tanxdx?44??1?tanx?dtanx?tanx?213tanx?C
23??sec2x?1?dx???secx?2secx?1?dx
421??3??tanx?tanx??2tanx?x?C
3???13tanx?tanx?x?C
3【例3】 求下列不定积分 （1）?（3）?ex1?e11?edx x（2）?（4）?1e?ex?xdx
dx x1?1?e?x2dx
x分析 这四个题中均含有e.而edx?de,因而可以用凑微分的方法积分。
xx解 （1）
?1?eexdx?x?1?e1d?e?1? xxx?ln?1?e??C ?1?e?0可不加绝对值符号?. x(2) ?＝?11e?ex?xdx??ee2xx?1dx
?e?x2de ?1xx＝arctane?C.
（3）解一 换元积分法 令1?e?u，则x?ln(u?1)，
dx?1x1u?1du
11??1??du ???u?1u??1?edx?x?u(u?1)du?＝lnu?1?lnu?C
回代lnexx1+e+C
＝x-ln(1+e)+C.
x
解二 凑微分
?1?e＝x?1dx?x?1?e?e1?exxxxx?edx???1?x1?e???dx ??d?1?e1?ex?
＝x-ln(1+ex)+C.
(4)分析 利用（1）和（3）对题（4）先化简.再凑微分 解
?11?1?e?x2dx??1?e?exx?1?e?x22dx
＝?1?edx?x?1?1?e?xxd?1?ex?
由题(3)x?ln?1?e??11?ex?C.
【例4】 求下列不定积分 （1）?dx13
xex2（2）?(xlnx)2(lnx?1)dx
??1???exd????ex?C
?x??11解 （1）?dx1xex323（2）?(xlnx)2(lnx?1)dx?三、第二换元积分法. 【例1】 求?dxx?23?(xlnx)2d(xlnx)?255(xlnx)2?C
dxx?3 x6tdt35解
???令x?t6x?t?t2?6?t3t?1dt?6??t3?1??1t?1dt
＝6??t?t?1?1?32?dt?2t?3t?6t?6lnt?1?C t?1?＝2x?33x?66x?6ln【例2】 求下列不定积 （1）?dx32?6x?1?C
?
?1?x?2（2）?a?xdx （a＞0）
22
（3）?dx?x2?a2?3/2 （a＞0）
（4）?dxx2
x?42解 （1）令x=sint，则
?dx?1?x?232??costdtcost3??sectdt?tant?C
2＝x1-x2+C
（2）令x=asint，则
?a?xdx?22?(acost)(acostdt)?a22?(1?cos2t)dt
22a骣1a?＝t+sin2t÷+C=(t+sintcost)+C ÷?÷?2桫222骣222a?xxa-x÷1ax22÷?arcsin+g+C=xa-x+arcsin+C ＝÷?÷÷2?aaa22a?桫（3）令x=atant，则dx=asec2tdt ?dx?xa2?ax2?32??asectdtasect332?1a2?costdt?1a2sint?C ＝2a?x22?C
（4）令x=2secu，则dx=2secugtanudu，代入积分式得
?dxx2x?42??2secu?tanu4secu?4secu?422du
＝＝＝
14141?sec1secu?tanu2u?tanudu
?secudu
cosudu ?4
