∴M?0,2,1?为BC的中点，S?DBM?∴VM?BDE?1S?CDM?2，B到面DEM的距离h?2， 214?S?DEM?h?. 3343.（本小题满分12分）
x22?y?1(a?0)的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴已知点F是椭圆21?a上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线
????????，试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个x??a分别交于点S、T（O为坐标原点）
定值；若不是，请说明理由．
????????【答案】（1）y?4ax；（2）FS?FT的值是定值，且定值为0．
2x22?y?1(a?0)右焦点F的坐标为(a,0)， 【解析】（1）?椭圆21?a??????????NF?(a,?n)．?MN?(?m,n)，?由MN?NF?0，得n2?am?0．
设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，
?m??x,?22?y代入n?am?0，得y?4ax． n?.?2?y12y22,y1)、B(,y2)， （2）(法一)设直线AB的方程为x?ty?a，A(4a4a则lOA:y?4a4ax，lOB:y?x． y1y24a?y?x,4a24a2?
y1，得S(?a,?由?)， 同理得T(?a,?)．
y1y2?x??a?
????????????????4a24a216a42． ?FS?(?2a,?)，FT?(?2a,?)，则FS?FT?4a?y1y2y1y2由??x?ty?a,2?y?4ax，得y?4aty?4a?0，?y1y2??4a2．
2216a4则FS?FT?4a??4a2?4a2?0． 2(?4a)????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0．
(法二)①当AB?x时， A(a,2a)、B(a,?2a)，则lOA:y?2x， lOB:y??2x．
?????y?2x,由? 得点S的坐标为S(?a,?2a)，则FS?(?2a,?2a)． ?x??a?????y??2x,由? 得点T的坐标为T(?a,2a)，则FT?(?2a,2a)．
x??a??????????FS?FT?(?2a)?(?2a)?(?2a)?2a?0．
2y②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?a)(k?0)，A(1,y1)、
4a2????????16a4y22． B(,y2)，同解法一，得FS?FT?4a?4ay1y22 由??y?k(x?a),2?y?4ax，得ky2?4ay?4ka2?0，?y1y2??4a2．
16a4则FS?FT?4a??4a2?4a2?0． 2(?4a)????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）
2x2y2以椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为6，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于ab323.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线
AP、AQ分别与y轴交于点M、N，问：以MN为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若
恒过x轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x轴上的定点，请说明理由.
x2?y2?1；【答案】（1）（2）以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0)，(1,0). 3【解析】（1）依题意，得
c6?,ab?3,又a2?b2?c2, a3?x2?a?3,?y2?1. 解得?故椭圆C的标准方程为3??b?1,（2）A(3,0)，设M(0,m)，N(0,n)，P(x0,y0)，
x02?y02?1（1）则由题意，可得， 3?????????且Q(?x0,?y0)，AP?(x0?3,y0)，AM?(?3,m).
?????????因为A,P,M三点共线，所以AP?AM，
故有(x0?3)m??3y0，解得m??3y0?3y0；同理，可得n?.
x0?3x0?3??????????????????假设存在满足题意的x轴上的定点R(t,0)，则有RM?RN，即RM?RN?0. ?????????因为RM?(?t,m)，RN?(?t,n)，
3y02所以t?mn?0，即t?， ??0，整理得t??2x0?3x0?3x0?322?3y0?3y02又由（1），得3y0?3?x0，所以t?1，解得t?1或t??1. 故以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0),(1,0). 方法二：
（1）同方法一；
（2）①当直线l的斜率不存在时，有P(0,1)，Q(0,?1)，M(0,1)，N(0,?1)，此时以MN为直径的圆经过x轴上的点(?1,0)和(1,0)； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx，
222?x2233k33k??y?1,,)，Q(?联立方程组?3，解得P(,?). 22223k?13k?13k?13k?1?y?kx,?设M(0,m)，N(0,n)
又直线AP的斜率k1?k1?3k2?1，直线AM的斜率k2??m， 3，
因为A,P,M三点共线，所以k1?k2，解得得m?3k3k?1?12同理，可得n??3k3k?1?12，
假设存在满足题意的x轴上的定点R(t,0)，则有RM?RN， 直线RM的斜率k3??mn，直线RN的斜率k4??， tt2所以k3k4??1，故有t??mn，即t2?整理，得t?1，解得t?1或t??1，
23k3k?1?12?3k3k?1?12，
综合①②，可知以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(?1,0)，(1,0).
45.（本小题满分12分）
已知函数f?x??alnx?ax?3（a?0）． （1）讨论f?x?的单调性；
2（2）若f?x???a?1?x?4?e?0对任意x???e,e??恒成立，求实数a的取值范围（e为
自然常数）；
（3）求证：ln22?1?ln32?1?ln42?1?????lnn2?1?1?2lnn!（n?2，
????????n???）．
【答案】：（1）当a?0时，增区间为?0,1?，减区间为?1,???；当a?0时，增区间为?1,???，
e?1?e2减区间为?0,1?；（2）a?；（3）见解析．
2【解析】：（1）f?(x)?a(1?x)(x?0)， x当a?0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,??)； 当a?0时，f(x)的单调增区间为[1,??)，单调减区间为(0,1]． （2）令F(x)?alnx?ax?3?ax?x?4?e?alnx?x?1?e,F?(x)? 若?a?e，a??e，F(x)在e,e2上是增函数，
x?a?0. x??F(x)maxe?1?e2?F(e)?2a?e?e?1?0,a?无解．
222若e??a?e，?e?a??e，F(x)在[e,?a]上是减函数；在[?a,e2]上是增函数，
22e?1?e2,F(e)?a?1?0,a??1.F(e)?2a?e?e?1?0,a?222e?1?e2??e?a?.
22若?a?e，a??e，F(x)在[e,e2]上是减函数，
22F(x)max?F(e)?a?1?0,a??1，?a??e2.
e?1?e2. 综上所述a?2（3）令a??1（或a?1），此时f(x)??lnx?x?3，所以f(1)??2，
由（1）知f(x)??lnx?x?3在(1,??)上单调递增，∴当x?(1,??)时，f(x)?f(1)，即?lnx?x?1?0，∴lnx?x?1对一切x?(1,??)成立， ∵n?2,n?N*，则有ln(11111?1)????， 22nn(n?1)nn?1n要证ln(22?1)?ln(32?1)?ln(42?1)???ln(n2?1)?1?2lnn!(n?2,n?N?)， 只需证ln(1111?1)?ln(?1)?ln(?1)???ln(?1)?1(n?2,n?N?), 2222234n111111111111ln(2?1)?ln(2?1)?ln(2?1)???ln(2?1)?(1?)?(?)?(?)??(?)?1??1.234n22334n?1nn所以原不等式成立
46.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?a(x?1)(ex?a).（常数a?R且a?0）. （1）证明：当a?0时，函数f?x?有且只有一个极值点； （2）若函数f?x?存在两个极值点x1,x2，证明：0?f?x1??44??0?fx?且222. ee【解答】：依题意，f?(x)?a[(x?1)?(ex?a)?(x?1)(ex?a)?]?a(x?ex?a), 令h(x)?a(x?e?a)，则h?(x)?a(x?1)?ex.
x(x)?0，所以f?(x)在(??,0)上不存（1）①当x?0时，x?e?0，a?0，故h(x)?f?x
