23nn?1?T?2?2(2?2?...?2)?(2n?1)2,
①-②可得n∴Tn?(2n?3)2n?1?6.
39.（本小题满分12分）
近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X的数学期望和方差.
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad?bc)2（K?,其中n?a?b?c?d）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）① 1 2 3 4 5 X 0 35251234323324243122233()C()()C()()C()() C()()() P 555555555555556 ②E(X)?2,D(X)?.
5【解析】：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 200?(80?10?40?70)2K??11.111?10.828,
150?50?120?802故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
2,且X的取值可以是0,1,2,3,4,5. 535123422233其中P(X?0)?()；P(X?1)?C5()()；P(X?2)?C5()()；
5555523232332P(X?3)?C5()()；P(X?4)?C54()4()1；P(X?5)?()5.
55555X的分布列为： 1 2 3 4 5 X 0 323232123432332()5 C5()() C52()2()3 C5()() C54()4()1 ()5 P 5555555555(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为
[来源:学科网][来源:Z*xx*k.Com]②由于X~B(5,),则E(X)?5?252262?2,D(X)?5??(1?)?.
555540.（本小题满分12分）
某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学
校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：
（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；
(2) 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．
【答案】（1）xA?xB?1.5,SA?1.5,SB?1.8;（2）P(C)?0.02.
【解析】：（1）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9
分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A校样本的平均成绩为xA?2A校样本的方差为SA?224?6?5?15?6?21?7?12?8?3?9?3?6（分），
60122??6?(4?6)???3?(9?6)??1.5. 60?4?9?5?12?6?21?7?9?8?6?9?3?6（分），
60从B校样本数据统计表可知： B校样本的平均成绩为xB?2B校样本的方差为SB?122??9?(4?6)???3?(9?6)??1.8. 60?22因为xA?xB,所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为SA?SB，所以A校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B校好.
(2) 记CA1表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”，
CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”，
CB1表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，CB2表示事件“B校学生计算机成绩为8分”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C?CB1CA1?CB2CA2．
P(C)?P(CB1CA1?CB2CA2)?P(CB1CA1)?P(CB2CA2)?P(CB1)P(CA1)?P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的概率分别为
6693，P(CA2)=，P(CB1)=，P(CB2)?，
606060609663故P(C)=?+??0.02．
6060606041.（本小题满分12分）
P(CA1)=如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD?平面
ABPE=AB，且AB?BP?2,AD?AE?1，AE?AB,且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为
2？若存52，理由见解析． 5C?AB，【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD?平面ABPE，且B则BC??????????????平面ABPE，所以BA,BP,BC两两垂直，故以B为原点，BA,BP,BC分别为x轴，y轴，
z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
?????11则P(0,2,0),D(2,0,1),M(1,1,),E(2,1,0),C(0,0,1)，所以EM=(?1,0,)．
22?易知平面ABCD的一个法向量等于n?(0,1,0)，
????????????1因为EM?n=(?1,0,)?(0,1,0)?0，所以EM?n，
2又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．
（方法二）由已知，平面ABCD?平面ABPE，且BC?AB，则BC?平面ABPE，
所以BA,BP,BC两两垂直．连结AC,BD，其交点记为O，连结MO，EM． 因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD中点．因为M为PD中点， 1所以OM∥PB，且OM?PB．
21又因为AE∥PB，且AE?PB，
2所以AE∥OM，且AE=OM．
所以四边形AEMO是平行四边形，所以EM∥AO.
因为EM?平面ABCD，AO?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD． （2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为理由如下：
2． 5??????????因为PD?(2,?2,1),CD?(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，
????????n1?PD?0,?2x1?2y1?z1?0,由??????得? ???n1?CD?0?2x1?0.??取y1?1，得平面PCD的一个法向量n1?(0,1,2)．
假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角?的正弦值等于
2． 5????????设PN??PD(0???1)，
则PN??(2,?2,1)?(2?,?2?,?)，BN?BP?PN?(2?,2?2?,?)．
????????????????????????????|BN?n1|??? 所以sin??|cos?BN,n1?|????|BN|?|n1|?25?(2?)2?(2?2?)2?(?)2?2?．
5?9?2?8??4521（舍去）． 9因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正
2弦值等于．
5所以9?2?8??1?0，解得??1或???42.（本小题满分12分）
正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD?CD,AB//CD,
AB?AD?1CD?2，点M在线段EC上且不与E,C重合． 2
（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；
（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为体积．
【答案】：（1）证明见解析；（2）.
6时，求三棱锥M?BDE的643【解析】：（1）由题意：以点D为坐标原点，DA方向为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，则A?2,0,0?,B?2,2,0?,C?0,4,0?,E?0,0,2?,M?0,2,1?，
?????????∴BM???2,0,1?，平面ADEF的一个法向量DC??0,4,0?，
???????????????????BM?DC?0，∴BM?DC，即BM//平面ADEF．
?????????（2）设EM?tEC?t?0,4,?2???0,4t,?2t?，故点M?0,4t,2?2t??0?t?1?，
设平面BDM的一个法向量n1??x,y,z?，则
????????????DB?n1?2x?2y?0,DM?n1?4ty??2?2t?z?0．
??????2t?令y??1，则n1??1,?1,?，易知平面ABF的一个法向量n2??1,0,0?，
1?t???????n1?n2?????∵cos?n1,n2????????n1?n212?4t2?216，解得t?，
26?1?t?
