类似的，由于cos??是?的偶函数，所以Fc(?)也是?的偶函数，则
fc(x)=
2???0Fc(?)cos??d? （9.8.12b）
式（9.8.12a）及（9.8.12b）称为傅里叶余弦变换及其逆变换。
（b） 若f(x)是奇函数，我们用fs(x)表示，则有
fs(x)=?fs(?x)
类似上述推导，可得
Fs(?)=
??22?0fc(?)sin??d? （9.8.13a）
fs(x)=
???0Fs(?)sin??d? （9.8.13b）
式（9.8.13a）及（9.8.13b）称为傅里叶正弦变换及其逆变换。
如果将上述傅里叶变换推广到三维空间，则有
F(k)?1(2?)32???f(r)e?ik?rd3r （9.8.14a）
f(r)?1(2?)32?ik?r3F(k)edk （9.8.14b） ???§9.9 傅里叶变换的性质
今后我们称
F(?)?12?????f(x)e?i?xdx （9.9.1）
（其中已将式（9.8.11b）中的?变量换成x，其结果不受影响）为f(x)的傅里叶变换（或像函数），记为
F(?)=?(f(x)) （9.9.2）
而称
f(x)?12?????F(?)ei?xd? （9.9.3）
为F(?)的傅里叶逆变换（或像原函数），记为
f(x)=??1?F(?)? （9.9.4）
为了今后叙述的方便，在讨论傅里叶变换的性质之前，我们假定下面提到的函数均满足存在
21
傅里叶变换的条件，即
（1） 函数在任何一有限区间上满足狄利克雷条件；
（2） 函数在无限区间???,??上绝对可积 9.9.1
线性性质
设F1(?)???f1(x)?,F2(?)???f2(x)?,且c1与c2为常数，则
??c1f1(x)?c2f2(x)??c1F1(?)?c2F2(?) （9.9.5）
证明 因为
12??????c1f1(x)?c?i?x2f2(x)?edx
=
1?i?x?1??2?????c1f1(x)edx2???c2f2(x)e?i?xdx
=c1F1(?)?c2F2(?)
9.9.2
位移性质
设F(?)???f(x)?,，且x0为实常数，则
??f(x?x0)??e?i?x0F(?) （9.9.6）
12?????f(x?x?i?x0)edx?1(x?x0)2?????f(x?x0)e?i?e?i?x0dx
=e?i?x0?1?2????f(?)e?i??d??e?i?x0F(?)
9.9.3
相似性质
设F(?)???f(x)?,，a是实常数，且a?0，则 ??f(ax)??1aF(?a) （9.9.7） 证明
?
1??11?f(ax)e?i?xdx???a2????f(x)e?iaxdx;(当a?0)2???????11?a2????f(x)e?i? axdx;(当a?0) =
11??1a2????f(x)e?iaxdx?aF(?a) 9.9.4
微分性质
证毕 22
如果当x???时，f(x)?0,又F(?)???f(x)?，则
?f'(x)?i?F(?) （9.9.8）
证明
??12?12?????f'(x)e?i?xdx
12?? =
f(x)e?i?x?????(i?)?f(x)e?i?xdx
?? =(i?)F(?) 证毕 推论 若limfx??(k)(x)?0,(k?0，,,1，2，???，n?1)，则有
?f(n)(x)?(i?)nF(?) （9.9.8a）
9.9.5
积分性质
设F(?)???f(x)?，则
x1???f(?)d???F(?) （9.9.9） ???x0?i???证明
令
g(x)?因为g'(x)=f(x)，所以
?xx0f(?)d????1?G(?)?
?g'(x)???f(x)??F(?)
根据（9.9.8），又有
???g'(x)?i?G(?)
所以G(?)???1F(?)，故 i?x1???f(?)d???F(?) 证毕 ???x0?i?9.9.6 卷积定理
设F(?)???f(x)?，G(?)???g(x)?，则f(x)和g(x)在区间(??,?)上的卷积定义为
f(x)*g(x)??f(x??)g(?)d?
???以及
23
F(?)*G(?)???F(???)G(?)d?
??则
??f(x)*g(x)??2?F(?)G(?) （9.9.10a） ??2?f(x)g(x)??F(?)G(?) （9.9.10b）
证明 我们先来求
1?2????f(x??)g(?)d?
的傅里叶变换
1???2????1?2????f(x??)g(?)d?????e?i?xdx
=
1?2????g(?)e?i??d???1?2???f?x???e?i?(x??)dx?????
（作变换令??x??，得）
=
1?2????g(?)e?i??d???1?2?????f???e?i??d????
=F(?)G(?) 同理可证（9.9.10b）。
9.9.7 乘积定理
设F1(?)???f1(x)?，F2(?)???f2(x)?，则
???*???f1(x)f2(x)dx????F1(?)F2(?)d?????F1(?)F*2(?)d? 其中F**1(?),F2(?)分别为F1(?),F2(?)的共轭复数。
证明 因为
??f)f??1??1(x2(x)dx=?f1????F2(?)e?i?xd????(x)??2???dx =1??2???F2(?)???????f1(x)e?i?xdx???d? 又因f?i?x1(x)是x的实函数，而e?(e?i?x)*，所以
fx1(x)e?i??f1(x)(e?i?x)*?(f1(x)e?i?x)*
证毕
9.9.11）24
（
于是
????f1(x)f2(x)dx=
?????i?x???F2(?)??1?2???(f1(x)e)*dx??d? =????F2(?)F*1(?)d?
同理可证
?????f1(x)f2(x)dx=???F1(?)F*2(?)d? 证毕
9.9.8
能量积分
设F(?)???f(x)?，则
???f(x)?2dx???????F(?)2d? （9.9.12）
上式又称为帕塞瓦尔等式。
证明 在是（9.9.11）中，令f1(x)=f2(x)=f(x)，即得所证 9.9.9
相关函数
定义两个不同函数f1(t)，f2(t)的互相关函数为
R?12(?)????f1(t)f2(t??)d? （9.9.13）
当f1(t)=f2(t)=f(t)时，则称
R(?)?????f(t)f(t??)d? （9.9.14）
为函数f(t)的自相关函数。可证明它是偶函数。即
R(?)=R(??) （9.9.15） t?u? R(??)?????f(t)f(t??)dt??????f(u??)f(u)du?R(?)
由卷积定理可知R(?)的傅里叶变换为2?F(?)F(?)?2?F(?)2，所以
2 R(?)???i????F(?)ed? （9.9.16）
?2例9.9.1 求证
??????0?1??2??d??4。 证明 因为f?xS(x)?e的正弦傅里叶变换为
F2?S(?)??1??2 再利用恒等式
25
