与我们取多少项的部分和求均方偏差无关。
在复杂波形的分析中（海洋潮汐、地震、乐调等），也许更方便的是将傅里叶级数写成如下形式：
a0?k?f(x)???akcos(x??k) （9.2.20）
2k?1l其中系数ak及?k与上述傅里叶级数系数ak及bk的关系为
ak?akcos?k,bk?aksin?k
22ak?ak?bk2,tan?k?bk （k=1,2,3?） （9.2.21） ak2系数ak又称功率谱，它明确地与k有关，并且在相角
?k改变之后，并不变化。
§9.3 傅里叶级数的性质
9.3.1 收敛性
定理9.3.1 傅里叶级数的收敛准则——狄利克雷（Dirichlet）定理
若（1）f(x)在??l,l???l,l?上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在；
（2）f(x)在??l,l?上只有有限个极大值点与极小值点； （3）f(x)在??l,l?外是周期函数，其周期为2l，则级数
a0?k?k?f(x);在连续处 （9.3.1） ??(akcosx?bksinx)?{1?f(x?0)?f(x?0)?在间断处2k?1ll2证明
na0k?k? Sn(x)???(akcosx?bksinx)
2k?1ll?1n?1lk?k?k?k??? =?f(?)????cos?cosx?sin?sinx??d?
l?l2llll??k?1??1lk??1n? =?f(?)???cos(x??)?d?
l?ll?2k?1?1l =?l?l因为
1(x??)?sin(n?)2lf(?)d? (x??)?2sin2l 6
1sin(n?)x12??(x) limn??2?xsin2及
?(ax)?所以
1?(x) a??f(x)la0k?k? ??(akcosx?bksinx)?limSn(x)??f(?)?(x??)d???1?ln???f(x?0)?f(x?0)?2k?1ll?2证毕
例9.3.1 试将锯齿波f(x)?x在区间??l,l?上??l,l?展开为傅里叶级数。
解 如图9.2所示，我们要将f(x)在??l,l?之外视作是2l的周期函数，按傅里叶级数公式（9.2.10a）及（9.2.10b）有
ak?及
1lk??cos?d??0 （k=0,1,2,?） l??ll1lk?2l2k??sin?d??()?ysinydy ??llllk?0bk? =因此，所求级数为
2l2lk??? siny?ycosy?(?1)k?1 （k=1,2,3，?）02k?(k?)(?1)k?1k?f(x)??sinx （9.3.2）
?k?1kl2l?由于x=0是f(x)的连续点，所以上式两边可划等号。事实上，也正是如此，可代入数字验证。
而x=l是f(x)间断点，由图9.2可知
f(l?0)??l,f(l?0)?l
按收敛准则，f(x)傅里叶级数在间断点处应收敛到
7
1?f(l?0)?f(l?0)??0 2事实上，以x=l代入级数（9.3.2），得级数和为零。
必须注意，狄利克雷定理中加在f(x)上的条件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。值得注意的是，单从f(x)的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。
9.3.2
积分
定理9.3.2 如果f(x)在区间??l,l?上分段连续，其傅里叶级数为
f(x)??(akcosk?1?k?k?x?bksinx) ll则 F(x)? 证明
?x?l?1llk?k?f(t)dt???xf(x)dx??(aksinx?bkcosx) （9.3.3）
?l2lllk?1k??x?l?lk?k?lf(t)dt??(aksinx?bkcosx)??(?1)kbk （9.3.4）
k?llk?k?1k?1?利用公式（9.3.2）以及公式（9.2.14），得
?1lk?12l ?xf(x)dx??(?1)bk （9.3.5） l?lk?k?1上式代入式（9.3.4），即得所证。
如果原级数中a0?0，只要用?f(x)???a0?代替公式（9.3.4）中的f(x)即可。 ?2?'9.3.3 微分
定理9.3.3 若f(x)在??l,l?上连续，又f(x)绝对可积，则有
A0?k?k?f(x)???(Akcosx?Bksinx)
2k?1ll'c??k?k?k?k?????{?bk?(?1)kc?cosx?aksinx} （9.3.6） 2k?1?llll?其中c?1?f(l)?f(?l)? 。 l Ak?利用求系数公式（9.2.10）及分部积分，可以证明
k?bk?(?1)kc （k=0,1,2，?） l8
Bk??k?ak （k=1,2,3，?） l如果f(l)?f(?1)，则f'(x)的傅里叶级数可通过对f(x)的傅里叶级数进行逐项求导而得，即
f(x)??(k?1?k?k?k?k?bkcosx?aksinx) （9.3.7） llll微分与积分大不相同，例如考虑下列函数（锯齿波）：
f(x)?x (?l?x?l)
的傅里叶级数为
x?2对上式逐项微分得
1?2于是得到不收敛的级数
其次，再考虑三角波
?(?1)k?1??k?11k?sinx （9.3.7） k?l?(?1)k?1cosk?1k?x lf(x)?x (?l?x?l)
它的傅里叶级数
l4l x??22?1(2k?1)?cosx ?2l(2k?1)k?0?是一个收敛得相当快的级数，且在??l,l?上一致收敛。对上式逐项微分得
f(x)?上式正是方波
'1(2k?1)?sinx ??k?0(2k?1)l4?f'(x)??1,(0?x?l)?1,(?l?x?0)
的傅里叶级数。事实上，三角波得导数正数方波。 从上面的例子可知，与积分相反，微分之后每一个系数前却添加了一个增长因子k，这就降低了收敛程度。所以上面第一个例子微分后得一发散级数。事实上，第一个例子中的级数在??l,l?区间上一致收敛。一般来说，微分使级数的收敛 程度降低。
有时将可以逐项微分的条件表示成如下形式：
（9.3.8）
此外，函数的光滑程度可以从该函数的傅里叶级数的系数上反映出来。一般而言，一个满足
k??k??limkak?limkbk?0 9
狄利克雷条件的周期函数。其傅里叶级数中的系数ak和bk随着k趋向于无穷大时，他们至少应与（其中c为与k无关的常数）一样快的趋向于零。如果函数包含一个或几个间断点，那么不是ak就是bk，一般情况是二者都不能比
ckc更快的趋向于零。如果函数以及它的前k（n-1）阶导数满足狄利克雷条件，而且处处连续，那么随着k趋向于无穷大，f(x)的傅里叶级数的系数ak和bk至少应与
ckn?1一样快趋向于零。如果f(x)的n阶导数不处处连续，
那么不是ak就是bk，一般情况是二者都不能比
ckn?1更快地趋向于零。
因此，函数愈光滑，其傅里叶级数的系数收敛得越快，反之，只要考虑某函数的傅里
叶级数的系数的收敛快慢程度，就可以判断该函数的光滑程度。
9.3.4 吉布斯现象
在间断点处，傅里叶级数呈现奇特的现象。作为例子，我们考虑方波（图9.3）
f(x)?其傅里叶级数为
?1,(0,l)?1,(?l,0)
f(x)?4??13??x?...? （9.3.9） ?sinx?sin??l3l?除去间断点xk?kl （k=0，?1，?）之外，上式右边级数之和与f(x)一致，设级数前N项
的部分和SN(x)，它与f(x)之差命名为误差项RN(x)，即
RN(x)=f(x)-SN(x)
因为
f(x)?sin(2k?1)x ??k?12k?14?SN(x)=
又
??4sin(2k?1)x
2k?1k?1N 10
