SN(x)=
其中也利用了公式
'cos(2k?1)x????k?14N2sin(2Nx)
sinx2sinxcos(2k?1)x?sin(2kx)?sin(2k?2)x
因此，可将SN(x)表达为积分形式
SN(x)=
在间断点x?2???0sin2Ntdt t?2N，
limSN(N???2N)???2?sin?0?d??1.1789797
由分析可知，误差项在间断点处取极大值，特别是N→∞，x?xk?0(xk为间断点），而R(x)趋于非零值，即误差总是存在的。在间断点f(x)的傅里叶级数之和越过这函数超出幅度约为18%，这种现象称为吉布斯现象。这是由于J.W.Gibbs(1839~1903)f(x)的值，
第一个向自然杂志投稿，发表了他的研究成果，解释了这一现象。因此后来就将部分和在间断点附近的异常行为称为吉布斯现象。
9.3.5 偶函数和奇函数
如果周期函数为奇函数或偶函数，则傅里叶级数具有如下鲜明的特征： （1） 奇函数
奇函数G(x)的特征是
G(x)=?G(?x) （9.3.10） 因此，由系数公式（9.2.10），得
ak?及
1lk?G(?)cos?d??0 （k=0,1,2，?） l??llbk?1lk?2lk?G(?)sin?d??G(?)sin?d? （k=1,2,3，?） ???l0llll所以，奇函数G(x)的傅里叶级数为
G(x)=?bksink?1?k?x （9.3.11） l由正弦函数性质可知，在x=0与x=l两端，级数收敛到零，于是
G(0)=G(l)=0
11
综上所述，奇函数的傅里叶级数的特征是：级数中只含正弦项，且在x=0与x=l两端，级数收敛到零。 （2） 偶函数 偶函数F(x)的特征是
F(x)=F(?x) （9.3.13） 因此，由系数公式（9.2.10），得
bk?及
1lk?F(?)sin?d??0 （k=0,1,2，?） ??lllak?1lk?2lk?F(?)cos?d??F(?)cos?d? （k=0，1,2,3，?） l??lll?0l所以，偶函数F(x)的傅里叶级数为
a0?k?F(x)=??akcosx （9.3.14）
2k?1l由余弦级数的性质可知，在x=0与x=l两端，级数的导数（设可微分）收敛到零。于
是
F'(0)=0 F'(l)?0 （9.3.15） 综上所述，偶函数的傅里叶级数的特征是：级数中只含余弦项，且在x=0与x=l两端，级数的导数收敛到零。
§9.4 傅里叶级数的应用
9.4.1 应用举例
在电路分析中常常要将信号函数展开成傅里叶函数，但变量常用时间t表示，周期
用T表示，因此，傅里叶级数具有如下形式
a0?2k?2k?f(t)???(akcost?bksint) （9.4.1）
2k?1TT此外，通常还用到一个物理量——角频率?，其定义为
?=
于是式（9.4.1）又可以写成
2??2?? Ta0?f(t)???(akcosk?t?bksink?t) （9.4.2）
2k?11. 为设计放大器提供依据
例如电路中常常使用图9.3所示的矩形波及图9.2所示的锯齿波，对于矩形波
12
)?E0;(0?t?T2f(t)?? T?E0;(??t?0)2?其傅里叶展开式为
f(t)?其中系数和
4E0?sin?t11??sin3?t?sin5?t?...? ???135?1成正比，因此，随着简谐次数的增高，幅度迅速减小。一般来说，在10k次谐波以后，就认为幅度已经相当小，可以略去不计。因此在设计矩形波放大器时，要求它的通频带宽带约为矩形脉冲的10倍。若扫描矩形波频率为60Hz，则要求放大器的通频带度为600Hz就可以了。电视机及示波器常用扫描锯齿波，也可作与上述相同的分析。
.2频谱分析
为了将交流电流变为直流电流，就可以利用下面的整流电路（图9.4）。
（a） 半波整流
半波整流的输出电压为
E半其傅里叶级数为
?t?0)?0；（?T2??T EOsin?t;(0?t?)2?E2E E半??0sin?t?0?2?（b） 全波整流
全波整流的输出电压为
E01cos(2n?t) ?2n?11?(2n)???E全其傅里叶级数为
?t?0)??E0sin?t;(?T2?E0sin?t?? T?E0sin?t;(0?t?)2?E全?2E0??4E01cos(2n?t) ??n?11?(2n)2???图9.5是这两波形的频谱分析图，即以频率为横坐标，以振幅为纵坐标来描述信号的动
态特征。由图9.5可知
（1） 全波整流的直流分量（常数项）比半波整流大一倍，因此整流效果较好。
13
（2） 全波整流中没有基频分量（n=1，即与电源频率相同的项）而半波整流却存在
这一分量，并且幅度比直流分量还大。特别是这一项是属于低频，很难除掉。
（3） 全波整流中的倍频分量比相应的半波整流分量大一倍，但这些高频分量很容易
采用滤波电路来去掉，所以不存在问题。
频谱分析不仅可以应用于电路，而且可应用于无线电波、光波以及声波等。由此可见它在现代技术中的实用价值了。
3.计算无穷级数的和
例如，设周期为2?的某函数f(x)，其在一个周期上的表达式为
f(x)?x2 （???x??)
由于f(x)是偶函数，所以它的傅里叶级数只有余弦项
1?22?2a0?????xdx?3
a22k????0xcoskxdx?2?(?1)k2?kk2?(?1)4k2 （k=1,2,3，?）因此，f(x)的傅里叶级数为
x2??2?13?4?(?1)kk2coskx （???x??) k?1令x=?,且利用cosk??(?1)k，所以
2??2??3?4?1k?1k2 因此得
??1?2 k?1k2?6若利用帕塞瓦尔等式（9.2.13）
1l2a0l??l??f(x)?dx?2??(a22k?bk) k?1 14
则
?12221 xdx?(?)?16?4????23k?1k1?4整理后得
1?4 ??490k?1k?9.4.2 傅里叶级数在应用上的优点
1.能表示不连续函数
电路中很多常用的脉冲波形（如矩形波）的函数是不太容易用数学式子来表达的。因为这些函数不是解析的（不是无限次连续可微的），所以这样的函数不能展成泰勒级数，但这样的函数能用傅里叶级数来表示。 。 2.能表示周期函数
但必须原函数在整个区间有定义，在基本区间之外有
f(x?T)=f(x)
这样的函数是能用傅里叶级数来表示的。但若在基本区间之外无定义，那么傅里叶级数展开式在这种情况下就不是唯一的。
3.能对任意函数作调和分析
例如，求施加周期性强迫力的振动系统的响应或施加周期性电压的电路内的电流时，把强迫力（或外电压）分解成简单的三角函数组合形式（即傅里叶级数），这样，就很容易分别求出各分量（三角函数）的响应。然后再将这一些响应叠加起来，就可以求得相应于任意外部干扰的系统响应。
§9.5 有限区间上的函数的傅里叶级数
现在函数f(x)定义在?0,l?区间上，而在端点和端点之外没有定义。让我们先来考察下面的函数（图9.6（a））
l)?2la;(0?x?2f(x)??2a l(l?x);(?x?l)2?l并将它展开成傅里叶级数。其具体形式，随函数f(x)在?0,l?区间之外的定义不同而异，现分别叙述如下：
（1） 当函数f(x)延拓成如图9.6（b）所示的偶函数时，其傅里叶级数为
f(x)?a16a?12?16?? ?cosx?cosx?...22??2??2ll6?（2） （2）当函数f(x)延拓成如图9.6（c）所示的奇函数时，其傅里叶级数为
f(x)?8a?1?13?15?? sinx?sinx?sinx...2?222?lll??135? 15
