11111,只需证,只需证3i?1?2i?1?3i?1?3?2i,???i?1i?1i?1ii?1i?1ii3?23?3?23?233?2111只需证?2i?1??3?2i,只需证?2??3,该式子明显成立,所以i?1. ??i?1ii3?233?2k?1k?11111k1133???1??1???,所以命于是当n?k?1时,?i??i3?2i?23i?2i3i?13i?2i322i?13?2要证
题在n?k?1时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数n,有
11??a1a2?13?. an2备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当n?1时,
131113?1?显然成立.当n?2时,??1??显然成立. a12a1a252nn?1?Cn?2n?1?2n?2n
12?2?Cn?22?当n?3时,an?3n?2n??1?2??2n?1?Cn12?1?Cn?2?Cn?22?n?12?Cn?2n?1?Cn?22?2n?n?1?,又因为a2?5?2?2??2?1?,
所以an?2n?n?1?(n?2),所以
111?11??????(n?2),所以 an2n?n?1?2?n?1n?111???a1a2a3综上所述,命题获证.
?11?111?1??1????an2?234?11?1?1?3???1??1???. n?1n?2?n?2
