?an?1f(an?1)ln|an?1|,不是常数,故④??q,是常数,故③符合条件;对于④,
f(an)ln|an|an不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.
二、填空题 13、【答案】35
【解析】(解法一)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列?an?bn?也是等差数列.
故由等差中项的性质,得?a5?b5???a1?b1??2?a3?b3?,即?a5?b5??7?2?21,解得a5?b5?35.
(解法二)设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,
因为a3?b3?(a1?2d1)?(b1?2d2)?(a1?b1)?2(d1?d2)?7?2(d1?d2)?21, 所以d1?d2?7.所以a5?b5?(a3?b3)?2(d1?d2)?35. 14、【答案】Sn?
n2n?1
【解析】因为Sn?n(2n?1)an,Sn?1?(n?1)(2n?3)an?1(n?2)，两式相减得
(2n?1)an?(2n?3)an?1,(n?2)，求得an?15. 【答案】2n?1
214n2?1,Sn?n2n?1
解析:设公差为d(d?0),则有1?2d??1?d??4,解得d?2,所以an?2n?1.
16、【答案】3018
【解析】由an?ncosn??1,可得S2012?(1?0?2?1?3?0?4?1?2?2012?1)?2012
?(?2?4?6?三、解答题
?2010?2012)?2012?2?503?2012?3018
17、【答案】（Ⅰ）设?an?的公差为d，由已知条件，?解得a1?3，d??2．（4分） 所以an?a1?(n?1)d??2n?5． （Ⅱ）∵an??2n?5，∴cn?∴bn?2n?2n
c?a1?d?1，（2分）
?a1?4d??55?an5?(?2n?5)??n 22
∴T?log2b1?log2b2?log2b3??log2bn
?log22n
?log22?log222?log223? ?1?2?3??n?n(n?1) 218、解析:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则a2?a1?d,a3?a1?2d,
?3a?3d??3,?a?2,?a??4,由题意得?1 解得?1或?1
a(a?d)(a?2d)?8.d??3,d?3.???111所以由等差数列通项公式可得
an?2?3(n?1)??3n?5,或an??4?3(n?1)?3n?7.
故an??3n?5,或an?3n?7. (Ⅱ)当an??3n?5时,a2,a3,a1分别为?1,?4,2,不成等比数列; 当an?3n?7时,a2,a3,a1分别为?1,2,?4,成等比数列,满足条件.
??3n?7,n?1,2,故|an|?|3n?7|??
3n?7,n?3.?记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n?1时,S1?|a1|?4;当n?2时,S2?|a1|?|a2|?5; 当n?3时, Sn?S2?|a3|?|a4|??|an|?5?(3?3?7)?(3?4?7)??(3n?7)
?5?(n?2)[2?(3n?7)]3211?n?n?10. 当n?2时,满足此式.
222n?1,?4,?综上,Sn??3211
n?n?10,n?1.??2219、(1)设等差数列
?an?的公差为d,等比数列?bn?的公比为q,由a1?b1?2,得
3?2?3d?2q?27???d?33,故a4?2?3d,b4?2q,S4?8?6d,由条件得方程组???3???q?2?8?6d?2q?10an?3n?1,bn?2n(n?N*)
（
2
）
Tn?anb1?an?1b2?an?2b3??a1bn?2na1?2n?1a2??2an?2n(a1?a2?2?an) 2n?1an3n?13n?23n?5??n?2?n?1?cn?cn?1 n?1n?12222Tn?2n[(c1?c2)?(c2?c3)??(cn?cn?1)]?2n(c1?cn?1)
?10?2n?2(3n?5)?10bn?2an?12?Tn?12?10bn?2an
20、解：(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d，则依题设d>0 由a2?a7?16.得2a1?7d?16 ① 由a3?a6?55,得(a1?2d)(a1?5d)?55 ②
由①得2a1?16?7d将其代入②得(16?3d)(16?3d)?220。即256?9d2?220
2∴d?4,又d?0,?d?2,代入①得a1?1,
∴an?1?(n?1)?2?2n?1. （Ⅱ）?b1?1,b2?2,?bn?2n?1 ∴cn?an?bn?(2n?1)?2n?1,
Sn?1?20?3?21???(2n?1)?2n?1
2Sn?1?21?3?22???(2n?1)?2n
错位相减可得：?Sn?1?20?2?21?2?22???2?2n?1?(2n?1)?2n
4(1?2n?1)?(2n?1)?2n?1?2n?1?4?(2n?1)?2n 整理得：?Sn?1?1?2?2n?1?3?(2n?1)?2n
∴Sn?3?(2n?1)?2n?2n?1?3?(2n?3)?2n
21、【解析】（Ⅰ）三种付酬方式每天金额依次为数列?an?，?bn?，?cn?，它们的前n项和依次分别为An,Bn,Cn．依题意，
第一种付酬方式每天金额组成数列?an?为常数数列，An?38n．
第二种付酬方式每天金额组成数列?bn?为首项为4，公差为4的等差数列， 则Bn?4n?n?n?1??4?2n2?2n． 2第三种付酬方式每天金额组成数列?cn?为首项是0．4，公比为2的等比数列，
0.41?2n?0.42n?1． 则Cn?1?2????（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当n?10时，
An?38n?380，
Bn?2n2?2n?220， Cn?0.4210?1?409.2．
所以B10?A10?C10． 答：应该选择第三种付酬方案
???2a1?a2?3?22. 解析:(Ⅰ)由?2?a1?a2??a3?7,解得a1?1.
??2?a2?5??a1?a3n?1(Ⅱ)由2Sn?an?1?2n?1?1可得2Sn?1?an?2(n?2),两式相减,可得
2an?an?1?an?2n,即an?1?3an?2n,即an?1?2n?1?3?an?2n?,所以数列
?an?2n?(n?2)是一个以a2?4为首项,3为公比的等比数列.由2a1?a2?3可
得,a2?5,所以an?2n?9?3n?2,即an?3n?2n(n?2),当n?1时,a1?1,也满足该式子,所以数列?an?的通项公式是an?3n?2n.
n?1n?1nn1?2?2?,2(Ⅲ)因为3n?3n?1?2?3所以3n?2n?3?,所以
11?n?1,于是an311??a1a2?11?1??an3?1?1???n13??1??33???n?1???1?????.
132???3???21?3n13??1?????1????,该加强an2???3???n11点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题??a1a2命题的思考过程如下.
考虑构造一个公比为q的等比数列?bn?,其前n项和为Tn?b1?1?qn?1?q,希望能得到
11??a1a2nb1?1?qn?b3b1b1?1?q?3???,考虑到?1,所以令1?即可.由
1?q2an1?q21?q1?qan的通项公式的形式可大胆尝试令q?11,则b1?1,于是bn?n?1,此时只需证明3311?bn?n?1就可以了. an3当然,q的选取并不唯一,也可令q?在于,当n?1时,
3131,此时b1?,bn?n?1,与选取q?不同的地方
422311?bn,当n?2时,?bn,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,
anan应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当
n?1时,
13?1?;当n?2a12时,
1113??1??a1a252;当n?3时,
111113???1???. a1a2a351921?bn,所以 an3??1??1???32???2?1?12n?3当n?4时,
11??a1a2?111?1???an519?????1?1?1?3?3.
519162综上所述,命题获证. 下面再给出
11??a1a2?13?的两个证法. an2法1:(数学归纳法) ①当n?1时,左边?13?1,右边?,命题成立. a1213?成立.为了证明当n?k?1时命ii2i?13?2k②假设当n?k(k?2,k?N)时成立,即?题也成立,我们首先证明不等式:
111(i?1,i?N). ??i?1i?1ii3?233?2
11111,只需证,只需证3i?1?2i?1?3i?1?3?2i,???i?1i?1i?1ii?1i?1ii3?23?3?23?233?2111只需证?2i?1??3?2i,只需证?2??3,该式子明显成立,所以i?1. ??i?1ii3?233?2k?1k?11111k1133???1??1???,所以命于是当n?k?1时,?i??i3?2i?23i?2i3i?13i?2i322i?13?2要证
题在n?k?1时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数n,有
11??a1a2?13?. an2备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当n?1时,
131113?1?显然成立.当n?2时,??1??显然成立. a12a1a252nn?1?Cn?2n?1?2n?2n
12?2?Cn?22?当n?3时,an?3n?2n??1?2??2n?1?Cn12?1?Cn?2?Cn?22?n?12?Cn?2n?1?Cn?22?2n?n?1?,又因为a2?5?2?2??2?1?,
所以an?2n?n?1?(n?2),所以
111?11??????(n?2),所以 an2n?n?1?2?n?1n?111???a1a2a3综上所述,命题获证.
?11?111?1??1????an2?234?11?1?1?3???1??1???. n?1n?2?n?2
