|OA|2?|OB|2?|AB|21方法（2）∵cos?AOB???， ???????10分
2|OA||OB|8????????????????1∴OA?OB=|OA||OB|cos?AOB?? ． ????????????? 13分
817．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，
BC?3，?ABC?90°,平面PAB?平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：AB?PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小． 解：（Ⅰ）? D、E分别为AB、AC中点， ?DE//BC ．
?DE?平面PBC，BC?平面PBC，
?DE//平面PBC ．??????????4分 （Ⅱ）连结PD， ?PA=PB，
? PD ? AB． ???????????.5分 ?DE//BC，BC ? AB， ?_ B_ A_ D_ PPADBEC_E _C
DE ? AB． .... .....................................................................
..................................6分 又?PD?DE?D ， ?AB?平面
PDE．......................................................................................................8分
?PE?平面PDE，
6
?AB?PE ． ..........................................................................................................9分 （Ⅲ）?平面PAB?平面ABC，平面PAB?平面ABC=AB，PD ? AB， ? PD?平面
ABC．................................................................................................10分 如图,以D为原点建立空间直角坐标系
3,0) , 2????????3PBPE=(1,0, )，=(0, , ?3? 2 ?B(1,0,0)，P(0,0,3)，E(0,
． ?3）z _ P?? 设平面PBE的法向量n1?(x,y,z)，
_ A?x?3z?0,?令z?3 ??3?y?3z?0,?2 得
x _ D_ B_ EC_ y ??n1?(3,2,3)． ............................11分
?DE?平面PAB， ?平
面
PAB
的
法
向
量
为
???n2?(0,1,0)．???????.......................................12分
设二面角的A?PB?E大小为?，
??????????|n?n2|1 由图知，cos??cos?n1,n2????1????，
n1?n22
所
以
??6?0即
二面角的
A?P?B大
小为
60?． ..........................................14分
7
ax2?bx?c(a?0)的导函数y?f'(x)的两个零点为18．（本题共14分）已知函数f(x)?ex-3和0.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为?e，求f(x)在区间[?5,??)上的最大值.
3(2ax?b)ex?(ax2?bx?c)ex?ax2?(2a?b)x?b?c解：（Ⅰ）f?(x)?．.......2分 ?x2x(e)e令g(x)??ax?(2a?b)x?b?c，
2因为e?0，所以y?f'(x)的零点就是g(x)??ax?(2a?b)x?b?c的零点，且
x2f?(x)与g(x)符号相同.
又因为a?0，所以?3?x?0时，g(x)>0,即f?(x)?0， ?????????4分 当x??3,x?0时,g(x)<0 ,即f?(x)?0， ????????????????6分 所以f(x)的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．??7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=-3是f(x)的极小值点，所以有
?9a?3b?c3??e,?3?e? ?b?c?0,??9a?3(2a?b)?b?c?0,?? 解得a?1,b?5,c?5， ??????????????????????11分
x2?5x?5 所以f(x)?.
ex， ?f(x)的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）
?f(0)?5为函数f(x)的极大值, ???????????????????12分
8
?f(x)在区间[?5,??)上的最大值取f(?5)和f(0)中的最大者. ?????.13分
而f(?5)?5?5e5>5，所以函数f(x)在区间[?5,??)上的最大值是5e5．.?14分 ?5e19．（本题共13分）曲线C1,C2都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是C1的短轴，是C2的长轴 . 直线l:y?m(0?m?1)与C1交于A,D两点（A在D的左侧），与C2交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=
53， AC?时，求椭圆C1,C2的方程；
42 （Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
x2x222解：（Ⅰ）设C1的方程为2?y?1,C2的方程为2?y?1,其中a?1,0?b?1．..2分
baa2?12?1?b ?C1 ,C2的离心率相同，所以,所以ab?1，?????????.?3分 2a ?C2的方程为ax?y?1．
222 当m=3a313时，A(?,),C(,)． .????????????????.5分 2222a251a51??，解得a=2或a=(舍)， ????.????..6,所以，
42a242 又?AC?分
x2?y2?1，4x2?y2?1．?????????????.7分 ?C1 ,C2的方程分别为4（Ⅱ）A(-a1?m2,m), B(- ?OB∥AN,?kOB?kAN, ?11?m2,m) ． ????????????????9分 am?11?m2a?m?1?a1?m2,?m?1 ． ??????????????.11分 a2?1 9
1a2?11?e22 e?，?a?，?m?． ???????????????12分
1?e2a2e22 ?0?m?1，?
1?e20?2?1e，
?
2?e?1．........................................................13分 220.（本题共13分）已知曲线C:y2?2x(y?0)，A1(x1,y1),A2(x2,y2),???,An(xn,yn),???是曲线C上的点，且满足0?x1?x2?????xn????，一列点Bi(ai,0)(i?1,2,???)在x轴上，且?Bi?1AiBi(B0是坐标原点）是以Ai为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求A1，B1的坐标； （Ⅱ）求数列{yn}的通项公式；
1（Ⅲ）令bi?,ci?ai?2?2?yi，是否存在正整数N，当n≥N时，都有
?b??c，若
iii?1i?1nn存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）??B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， ?直线B0A1的方程为y=x．
?y?x?2 由?y?2x 得x1?y1?2，即点A1的坐标为（2，2），进而得B1(4,0)．?..3分
?y?0?（Ⅱ）根据?Bn?1AnBn和?BnAn?1Bn?1分别是以An和An?1为直角顶点的等腰直角三角形可
得??an?xn?yn ，即xn?yn?xn?1?yn?1 ．（*） ??????????..5分
?an?xn?1?yn?122?2xn,yn ?An和An?1均在曲线C:y2?2x(y?0)上，?yn?1?2xn?1，
22ynyn22 ?xn?,xn?1??1，代入（*）式得yn?1?yn?2(yn?1?yn)， 22 ?yn?1?yn?2(n?N*)， ?????????????????????..7分
10
