18.3一元二次方程的根的判别式（导学案）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
【 学习目标 】
1、知识与能力：能说出一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式Δ=b2?4ac，并能用根的 即：x1?_______________ x2?_________________
（2）当b2?4ac=0时，b2?4ac= ，因此，方程有 ； 即： x1?x2?
判别式判别一元二次方程根的情况。
2、过程与方法：在学习过程中，进一步体会分类、归纳的数学思想方法。
3. 情感态度与价值观：通过根的判别式与方程系数之间的联系，感受数学的内在美。 【 学习重难点 】
1、重点：一元二次方程的根的判别式以及用其正确判别一元二次方程的根的情况。
2、难点：理解一元二次方程的根的个数与根的判别式的关系，根据方程的根的情况，确定方程中字母的取值范围。
【 预习内容 】课本第31—32页 【 学习流程 】 一、基础达标，应知应会 （一）旧知回顾
1、 一元二次方程有哪几种解法？
答：有（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。
2、根据你解一元二次方程的经历，请思考一下一元二次方程的根有几种可能的情况？ 你思考的结果是：有 种情况。（1）有 个不相等的实数根；（2）有两个 的
实数根；（3）没有 。
3、用公式法解下列方程：
（1）2x2?3x?1?0 （2）4y2?1?4y （3）3t2?5t?4?0
4、在上面的三个方程中，方程（1）有 实数根，此时b2?4ac的值 零；方程（2）有 实数根，此时b2?4ac的值 零； 方程（3） 实数根，此时b2?4ac的值 零。 （二）新知探究
1、 问题思考：对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)：（1）在什么条件下，有两个不相等的实
数根？（2）在什么条件下，有两个相等的实数根？ （3）在什么条件下，没有实数根？2、 问题探究：
在前面，我们通过配方，得到了一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：
x?_________________
由这个公式，我们不难看出：
（1）当b2?4ac＞0时，b2?4ac是 ，因此，方程有 ；
__________（3）当b2?4ac＜0时，b2?4ac在实数范围内 ，因此，方程 。 可见，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的情况是由b2?4ac来确定的。我们把
b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用符号“Δ”
（读作： 得尔他）来表示，即：Δ=b2?4ac。 3、 问题解决：
一般地，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，
（1）当Δ=b2?4ac＞0时，有 ； （2）当Δ=b2?4ac＝0时，有 ； （3）当Δ=b2?4ac＜0时，没有 。 4、问题延伸：把上面的三个条件和结论分别反过来，也是正确的。 即对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0) （1）当方程有两个不相等的实数根时， ； （2）当方程有两个相等的实数根时， ； （3）当方程没有实数根时， 。 5、例题：
例1 （课本第32页）不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5x2?3x?2?0； （2）25y2?4?20y； （3）2x2?3x?1?0。 解：（1）∵Δ＝ ＝ 0 ∴原方程 ； （2）∵Δ＝ ＝ ∴原方程 ； （3）∵Δ＝ ＝ 0 ∴原方程 。
例2 当k为何值时，关于x的一元二次方程2x2?3x?k?0
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解：（1）由Δ＞0，得 （?3）2?4?2k?0 解得 k?98, 因而， 当k?98时，方程有两个不相等的实数根； （2）由Δ＝0，得 ，
解得 ，因而，当 ；
（3）由Δ＜0，得 ，
解得 ，因而，当 。
例3 已知关于x的一元二次方程x2?2mx?m2?m?1?0有实数根，求m的取值范围。 解： 由题意，得 Δ＝（2m)2?4(m2?m?1)?0 解得 ，因而，当一元二次方程x2?2mx?m2?m?1?0有实数根
时，m的取值范围是 。 （三）基础练习
1、根据根的判别式，判别下列一元二次方程的根的情况：
（1）2x2?4x?1?0； （2）4y(y?5)?25?0； （3）t2?0.4t?0.6?0
2、已知关于x的方程3x2?2x?m?1?0，问m取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
3、分别根据下面的条件求m的值： （1）方程x2?(m?2)x?4?0有一个根为?1；
（2）方程x2?(m?2)x?4?0有两个相等的实数根；
（3）mx2?3x?1?0有两个不相等的实数根；
（4）方程mx2?4x?2?0没有实数根；
（5）方程x2?2x?m?0有实数根。
（四）归纳小结
1、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式为Δ＝ ；
2、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的情况与判别式Δ＝b2?4ac之间的关系是： （1）方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根 Δ＝b2?4ac＞0； （2） ； （3） 。 二、师生互动，交流合作
1、 当m为何值时，关于x的一元二次方程x2?4x?m?12?0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
2、 已知关于x的方程mx2?(2m?1)x?m?0有两个实数根，求m的取值范围。
五、 能力升级，拓展延伸 试证：关于x的一元二次方程x2?(a?1)x?2(a?2)?0一定有两个不相等的实数根。
18.4 一元二次方程的根与系数的关系 （导学案）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
由此猜想，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1、x2，那么x1+x2=－这个关系通常称为韦达定理。（仔细阅读课本第34页证明过程）
说明：（1）特别地，如果方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，这时韦达定理应为：
【 学习目标 】
1、知识与能力：知道一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），会用韦达定理解决有关问题。 2、过程与方法：在学习中，注意运用观察、分析、猜想、论证的思想方法。
3、情感态度与价值观：在韦达定理的论证和应用过程中，体会数学思想方法的运用，养成严谨的思维bc，x1x2 =。 aa习惯。
【 学习重难点 】
1、重点：一元二次方程根与系数的关系的观察、猜想与证实。 2、难点：一元二次方程根与系数的关系的应用。 【 预习内容 】课本第34—35页 【 学习流程 】 一、基础达标，应知应会
（一）旧知回顾
1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是： 。 2、用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2-2x-3=0 （2）x2＋5x－6=0 （3）2x2－3x－5=0
（4）4x2-1=0 （5）3x2+8x=0 （6）3x2＋7x＋2=0
（二）新知探究
观察与猜想：观察旧知回顾中各方程中两根x1、x2，并计算x1+x2、x1x2的值填下表。猜想x1+x2，x1x2与系数a、b、c有什么关系。 方 程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x-3=0 x2+5x-6=0 2x2-3x-5=0 4x2-1=0 3x2+8x=0 3x2+7x+2=0
x1+x2 = －p，x1x2 = q
（2）如果已知一元二次方程的两根为x1、x2，那么这个一元二次方程可以表示为：
x2－（x1+x2）x + x1x2=0 （自己试着证明）
例1 已知关于x的方程2x2
＋ kx－4=0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x2，则
???4?x2???4x 2?解得??x2??k?
答：方程的另一根为 ，k的值为 。 例2 已知一元二次方程x2＋2x－5=0，求它的两根的倒数和。 解： 设它的两根分别为x1、x2，则
x1+x2= ，x1x2=
1x+1=x1?x21x2x= = 。
1x2答：方程x2+2x-5=0两根的倒数和是 。
说明：用韦达定理求与一元二次方程两根有关的代数式的值，应先将代数式化为用两根的
和与积表示的式子，然后再用两根的和与积的值代入计算。 例 3 已知两数的和为-3，积为2，求这两个数。
分析：如果一元二次方程的两根分别是x1、x2，则该一元二次方程表示为：
x2－（x1+x2）x+x1x2=0，解这个方程就得到要求的两个数。
解： 该两个数是方程x2＋3x＋2=0的两根。 x2＋3x＋2=0
（ ）（ ）=0
∴x1= ，x2= 。 答：这两个数分别是 。
（三）基础练习
1、假设下列各方程的两根分别为x1、x2，求两根之和与两根之积。
（1）x2－3x+1=0 （2）3x2－2x－2=0 （3）2x2-9x+5=0
（4）4x2－7x＋1=0 （5）2x2＋3x=0 （6）3x2=1
2、判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根，为什么？ （1）x2+4x+4=0 （1，4） （2）x2－6x－7=0（－1，7）
（3）2x2－3x＋1= 0（12，1） （4）x2－8x＋11=0（4－5，4+5）
（四）归纳小结
1、如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。2、如果x2+px+q=0（a≠0）的两个根为x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。二、师生互动，交流合作 1、（1）已知关于x的方程3x2－19x＋m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
（2）已知关于x的方程2x2＋mx－3=0的一个根是12，求它的另一个根及m的值。
（3）已知关于x的方程x2－4x＋n=0的一个根是2+a，求它的另一个根及n的值。
2、已知关于x的方程2x2＋4x－3=0的两个根是x1、x2，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
(1) (x (2) 111+1)(x2+1) x+
1x2
3. 已知两数的和为2，积为－2，求这两个数。
六、 能力升级，拓展延伸
1、已知关于x的方程x2＋mx＋2m－n=0的根的判别式为0，且有一个根为2，求m、n的值。
2、已知α、β满足α2－2α－3=0，β2－2β－3=0，且α＞β，利用一元二次方程根与系数的关系求α－β的值。
18.5一元二次方程的应用(1)
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
【 学习目标 】
1、知识与能力：类比列一次方程（组）解应用题的方法，能列一元二次方程解一些简单的应用题，并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
2、过程与方法：在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题和解决问题的能力，进一步领会分析、类比的数学思想方法。
3、情感态度与价值观：通过解应用题的学习，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。
【 学习重难点 】
1、重点：掌握解应用题的几个步骤，根据具体问题列一元二次方程解应用题。 2、难点：分析、理解具体问题的题意，列出一元二次方程。 【 预习内容 】课本第37—38页 【 学习流程 】 一、基础达标，应知应会
（一）旧知回顾 1、 在植树节期间，某校组织八、九年级师生参加义务植树活动。已知该校这两个年级共植树390
棵，且九年级比八年级多植树50棵，问这两个年级各植树多少棵？ 解法一：设该校八年级植树x棵，则九年级植树 棵。根据题意，得 解这个一元一次方程，得x= 因而，x+50=
答：该校八年级植树 棵，九年级植树 棵。 解法二：设该校八年级植树x棵，九年级植树y棵，根据题意，得 ?
?__________?__________ 解这个二元一次方程组，得??x?______?y?______
答：该校八年级植树 棵，九年级植树 棵。
2、回忆一下过去列一次方程（组）解应用题的经历，说一说列一次方程（或方程组）解应用题的一般步骤：
（1）仔细阅题，审清 ；
（2）分析题目中的 关系和 关系，设出恰当的 ；
（3）根据题目中的 关系，列出 或 ； （4）解这个 或 ；
（5）检验得出的解是否 ，并写出 。
（二）新知探究
类比列一次方程（组）解应用题的方法，我们也能列一元二次方程解一些简单的应用题。 例 1 已知长方形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，求这个长方形的长和宽。 解：设长方形的宽为xcm，则其长为(x?2)cm，根据题意，得
x(x?2)?8
解这个一元二次方程，得 x1? ，x2? 。 由于长方形的宽不可能为负数，所以x= 。 从而，x?2? 。
答：这个长方形的长为 cm，宽为 cm。 例 2 18.1节中问题2。（课本第20页） 解：设小路的宽为xm，根据题意，得 32?20?(32x?2?20x)?2x2?570 整理，得 解得 x1? ，x2? 。
结合题意，x= 不可能，因此，只能取x= 。
答： 。
例 3 某城市计划用两年的时间，将城市的绿地面积从现有的144万平方米提高到
225万平方米，求每年的平均增长率。 分析：如果设每年的平均增长率为x，那么一年后，该城市的绿地面积为 =
144（1+ ）万平方米，两年后，该城市的绿地面积为 = 144（1+ ）2万平方米.，由题意可得方程 。 解：设每年的平均增长率为x，由题意可得方程 。 解这个一元二次方程，得x1? ，x2? 。 由于x= 不符合题意，所以只能取x= =
答：每年的平均增长率为 。
例 4 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件。现在采取提高商
品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销 售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？ 分析：每天的利润=每件的利润（售价－进价）×每天的销售量（件数）。如果设将每件
的售价定为x 元，那么现在每件的售价比原售价（10元）提高了 元， 现在每件的利润是 元。由于每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少 10件，即每件的售价每提高1元，其销售量就减少 件。所以当售价提高
