18.2.3 一元二次方程的解法（求根公式）
∴x1= ，x2=
b2?4ac（2） b-4ac=0，则=0此时方程的根为 即一元二次程 24a2
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
学习内容 课本第25 — 29 页
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式
法解一元二次方程． 2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）? 的ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 的实根。
b2?4acb（3） b-4ac＜0，则＜0，此时（x+）2 ＜0，而x取任何实数都不 24a2a2
求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式法的推导． 【课前预习】 一、自主学习
阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题 1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的
步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=?b?b2?4ac2ax2=?b?b2?4ac2a
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数
字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得： ，二次项系数化为1，得
配方，得： 即 ∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
（1） b2
b2-4ac＞0，则?4ac4a2＞0 直接开平方，得： 即x=?b?b2?4ac2a
能使（x+
b2a）2 ＜0，因此方程 实数根。 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，
将a、b、c代入式子x=?b?b2?4ac2a就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数
根。 （2）x=?b?b2?4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
2a
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者实根。 （5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac
二、合作学习 1、例：用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）（x-2）（3x-5）=0
2、用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-22x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x
归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； 三、【达标测试】 一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
3、 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm2?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ A．x=?3?62 B．x=3?62 C．x=?3?232 D．x=3?232 2．方程2x2+43x+62=0的根是（ ）．
A.x 1=2，x2=3 B.x1=6，x2=2 C.x1=22，x2=2 D.x1=x2=-6
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2 二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导xbc 1+x2=-a，x1·x2=；
（2）?求代数式a（x13+x23
a）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
18.2.4因式分解法（因式分解法）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方1、用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-23x=0
2程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 重点、难点
1、重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 一、自主学习
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法： 解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
二、合作学习
1、探究：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 2、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。
（2）如果a?b?0，那么a?0或b?0，这是因式分解法的根据。
如：如果(x?1)(x?1)?0，那么x?1?0或_______，即x??1或________。 练习1、说出下列方程的根：
（1）x(x?8)?0 （2）(3x?1)(2x?5)?0 练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2
-4x=0 (2) 4x2
-49=0 (3) 5x2
-20x+20=0
3、随堂训练
（3）3x-6x=-3 （4）3x(2x+1)=4x+2
小结：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1） 将方程右边化为
（2） 将方程左边分解成两个一次因式的
（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程 （4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 三、达标测试
1．方程x(x?3)?0的根是
2．方程2(x?1)2?x?1的根是________________ 3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________ 4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___ 5．若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 10、用因式分解法解下列方程：
(1) (4x?1)(5x?7)?0 (2) x2?5x
(3) 3x(x?1)?2(1?x) (4) (x?1)2?25?0
(5) 2(x?3)?x2?9 (6) 16(x?2)2?9(x?3)2
18.2.5解一元二次方程
325、5x-2X- =x-2X+4 6. 4(x?2)2
142
?9(2x?1)2
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点、难点
3、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 4、 难点：选择合适的方法解一元二次方程 【课前预习】 一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表： 方法名称 理论根据 适用方程的形式 直接开平方法 平方根的定义 x2?p或(mx?n)2?p(p?0) 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 两个因式的积等于0，一边是0，另一边易于分解成两因式分解法 那么这两个因式至少个一次因式的乘积的一元二次有一个等于0 方程 3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用适当的方法解下列方程：
1. x2?7x?0 2. x2?12x?27
3、X（x-2）+X-2=0 4. x2?x?2?4
【课堂活动】
1．用直接开方法解方程： ⑴36x2?1?0
⑶
?x?5?2?16
2．用因式分解法解方程： ⑴x2?x?0
⑶3?2x?1??x?2x?1??0
3．用配方法解方程：
⑴x2?10x?16?0
⑵4x2?81
⑷x2?2x?1?4 ⑵4x2?121?0
⑷
?x?4?2??5?2x?2?0x2?x?3⑵4?0
⑶3x2?6x?5?0 ⑷
4x2?x?9?0
4．用公式法解方程：
?x?12?021⑴x2 ⑵x?2x?4?0
⑶x2?4x?8?2x?11 ⑷x?x?4??2?8x
⑸x2?2x?0 ⑹x2?25x?10?0
活动3：课堂小结
解一元一次方程的方法： 【课后巩固】
1．用直接开方法解方程： ⑴4x2?9?0 ⑵?x?2?2?1
22⑶
9?x?2??1 ⑷x?2x?1?4
2．用因式分解法解方程： ⑴x2?23x?0 ⑵3x?2x?1??4x?2
⑶5x2?2x?1234?x?2x?4 ⑷
?2x?1?2??3?x?2
3．用配方法解方程： ⑴x2?8x?1?0 ⑵2x2?1?3x ⑶3x2?6x?4?0
⑷x2?10x?9?0 ⑸3x2?6x?4?0 ⑹x?x?4??8x?12
4．用公式法解方程：
⑴x2?x?1?0 ⑵x2?3x?14?0 ⑶
3x2?6x?2?0
