第18章 一元二次方程
18.1
一元二次方程 （导学案）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
【 学习目标 】
1. 知识与技能：知道什么是一元二次方程，一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的
二次项系数、一次项系数、常数项 。
2. 过程与方法：经历抽象一元二次方程的概念的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学
模型 。
3.情感态度与价值观：经历抽象一元二次方程的概念的过程，培养严谨的学习态度。 【 学习重难点 】
1. 重点：一元二次方程的概念及它的一般形式 。
2. 难点：会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 。 【 预习内容 】课本第20— 21页 【 学习流程 】 一、基础达标，应知应会 （一）旧知回顾
1、含有 的等式叫做方程。
2、含有 个未知数，并且未知数的次数是 的整式方程叫做一元一次方程。 3、一元一次方程都可以化为最简形式 。 4、若方程ax-3=2的解是x=1，则a= 。 （二）新知探究
问题1 （见课本第20页）：
在这个问题中，如果设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，2005年的产量为a，那么2006年无公害蔬菜产量为______________________，2007年无公害蔬菜产量为____________________________。
根据题意，2007年无公害蔬菜产量为2a，可得方程____________________， 整理得____________________________
问题2 某小区在两栋楼之间开辟面积为900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，
则绿地的长和宽各是多少？
如果设绿地宽为x米，那么它的长应是 米。 根据面积计算公式可列方程： 。 整理得： 。
观察以上整理后的两个方程，它们两边都是 式，含有的未知数有 个， 未知数的最高次数是 。这样的方程叫做一元二次方程。
只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式 （又叫标准形式）。其中ax2 叫做 ，a是二次项的系数；bx叫做 ，b是一次项的系数；c叫做 。
思考：为什么要求a≠0？如果a=0，但b≠0，那么它应该是什么方程？
例：把方程3 x（x-1）= 2（x-2）- 4化成一般形式，并写出它的二次项系数、
一次项系数及常数项。
解：去括号，得：_____________________________________
移项，得：_______________________________________
合并同类项，得方程的一般形式：_________________________________ 它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 注意：1、一元二次方程的一般形式中等号的左边最多三项，其中一次项、常数项可以
不出现，但二次项必须存在，并且左边通常按未知数降幂排列。
2、等号的右边必须整理为0。
3、要说出项及系数必须先化为一般形式。 （三）基础练习
1、判断下列方程是不是一元二次方程？为什么？
（1）3x2
-2y=0 （2）2xy=6
（3）x2-3x+1=x+5 （4）x2-3x+1=x2+5 （5）ax2-5x+2=0 （a为常数） （6）
2x-1x2+x=3
（7）2x?1+4=3x2 （8）2x2-3x=1
（9）x2－1x－3=0 （10）4x2+3x－2=（2x＋1）2
2、指出下列一元二次方程的系数a、b、c分别是多少？
（1）5x2=6x-8 （2）1-2x22=0
（3）9x2
=5 （4）3y2+1=23y （5）x（x-1）=0 （6）（x-2）（x-3）=0
（四）归纳小结
1、一元二次方程的定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的标准形式是： 。 二、师生互动，交流合作
1、下列各式是不是一元二次方程，为什么？ （1）x2-3x+2 （2）x2+4x+3=0 （3）x2-x-3=0 （4）x222=0 （5）2x2
=-x （6）xx+3x=2
2、 把下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项分别是什么。（1）x（1+2x）=5-3x （2）（x+2）2-（2x-1）2=0
（3）（2x+3）（x-1）=10 （4）x（x-2）+3x=1
3、 判断下列未知数是不是方程2x2+x-1=0的根。
（1）x=－1 （2）x=1 （3）x=12
4、 已知关于x的方程3x2－mx+（m－2）=0的一个根是2，求m的值。
三、 能力升级，拓展延伸
1、已知关于x的方程（m2－4）x2+（m+2）x－1=0
（1） 当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？
（2） 当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时，它的二次项系数、一次项系数、常
数项分别是什么？
2、要使(k?1)xk?1?(k?1)x?2?0是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程(m?2)x2?3x?m2?4?0有一个解是0，求m的值。
18.2.1 一元二次方程的解法（直接开平方法）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
教学目标
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2
=n（n≥0）的方程． 【课前预习】
一、基础达标，应知应会 （一）旧知回顾
1、一元二次方程的一般形式： 2、已知关于x的方程3x2 – mx+（m+2）= 0的一个根是2，那么m的值是 3、9的平方根是 ，7的平方根是 4、（a +b）2
= ，（a –b）2
=
（二）新知探究
1、求出下列各个方程的解： （1）x2 = 9 （2）x2 = 25 （3）x2 – 0.81 = 0 一般地，对于形如x2 = a （a≥0）的方程，根据平方根的定义，可解得x = ，这种解
一元二次方程的方法叫直接开平方法。
如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 2、计算：用直接开平方法解下列方程： （1） (2x-1)2=5 （2）x2+6x+9=2
（3）3(x+1)2 = 48 （4）2(x–2)2 – 4 = 0
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：
（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ ①ax2+c=0②（x+m）2 +n= 0③a（x+b）2+c=0
(2)用直接开平方法解一元二次方程的步骤是什么？
首先将一元二次方程化成左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是一个非负数的形式，然后用平方根的概念求解。
（3）如果方程能化成（x+a）2=b（b≥0）的形式，那么可得 3、练习：
（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11 【达标测试】 一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足3a?4+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 4．用直接开平方法解下列方程： （ 1 ） （ 2-x ） 2 -81 ＝ 0 （ 2 ）2（1-x）2
-18＝0 （3）
（2-x）2＝4
18.2.2一元二次方程解法（配方法）
八年级 数学 主编：杨传飞 审核：
即 （x – ）2 = 开平方，得 所以原方程的根是 x1= ，x2= （2）先把x2的系数变成1，即把原方程两边同时除以
31得 x2 – x – 1 =
22教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程
一、自主学习（阅读教材第23页至第24页的部分，完成以下问题） 1、解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
2、填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 二、合作学习 1、思考？
（1）以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ （2）什么叫配方法？ （3）配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本
（4）配方法的关键是什么？ 2、用配方法解下列方程：（1）x2
– 4x –1 = 0 （2）2x2
– 3x –1 = 0
解： （1） 移项，得 x2 – 4x = 1
配方，得 x2 – 2×2x + = 1+
移项，得 x2 – 312x – 1 = 2
配方，得 即 开平方，得
所以原方程的根是 x1= ，x2=
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
3、用配方法解下列关于x的方程
（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0
4、配方：
(1) x2 – 8x + （ ）= （x – ）2 (2) y2 + 5y + （ ）= （y + ）2 (3) x2 –
52x +（ ）= （x – ）2 (4) x2 + px +（ ）= （x + ）2
三、达标测试
一、选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 二、填空题
1．（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2 （3）x2+px+_____=（x+______）2． 2、方程x2+4x-5=0的解是________． 三、计算： （1）x2+10x+16=0 （2）x2-x-3 4=0
（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x-9=0
四、综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2
-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x2-4x+y2+6y+z?2+13=0，求（xy）z的值．
对于符号“*”，我们作如下规定：a*b=a2－b2
+2，如：2*3=22－32
+2=4－9+2=-2
（1）若3*x=10，求x的值
（2）若（2x+3）*x=5，求x的值
四、 能力升级，拓展延伸
阅读下面的对话，解决后面的问题。 小明说：（x－1）2的值恒大于或等于零；
小芳说：（12x+5）2+1的值最小是1；
小刚问： x2－6x+11的值恒大于0吗？它有没有最大（或最小）值？若有，是多少？
因为：x2－6x+11=（ ）2
+ ≥
所以：当x= 时，x2－6x+11有 值 。
同学们，你们想出解决问题的好方法了吗？运用你所学到的方法试说明：不论x，y为何值，代数式4x2+y2－4x+6y+11的值总是正数。你能求出当x，y为何值时，这个代数式的值最小吗？若有，是多少？
