3 河流地貌学（河床变形模型）
河流地貌学模型是水动力学模型和泥沙输移模型的结合。根据河床地形的变化不断更新水流流场。
河流地貌学模型传统上分为耦合模型和非耦合模型两种。对于耦合模型，水流控制方程和泥沙输移方程合并到一个方程组中，同时求解。对于非耦合模型，水动力学流控制方程的求解在泥沙输移方程求解的前一个时间步里完成，然后计算出新的床面高程，并对下一时间步的水流方程进行求解。本模型采用的就是后一种方法（非耦合）。本模型包括的其他子模型，诸如河岸侵蚀，岸线更新，动床阻力，床面形态，床沙级配等，都将在本章中加以描述。
3.1 泥沙连续方程
根据计算的床沙质（推移质和悬移质）输移（状况），可以从以下方程求得床面高程的变化：
式中：Sx 为X方向输沙量 Sy 为Y方向输沙量 n 床沙孔隙率 t 时间
（x，y） 笛卡儿坐标系
ΔSe 由于河岸侵蚀引起的侧向泥沙补给。
总输沙量等于推移质和悬移质之和，对于曲线网格（s，n），方程3.1将略有不同，数值处理中在每一个网格单元的入流和出流边界上使用不同的Δs和Δn，见图3.2。
本模型采用空间中心差分和时间上的向前差分格式。时间步长受Courant准则的限制，即Courant数必须小于1。波数可以用式3.1的一维版本加以估算：
通过假定床
波的波速就可以表示为：
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和泥沙输移是仅是希尔兹切应力θ的函数，那么沙
如果谢才系数假定为常数，那么θ与h2成反比，即& Hansen输沙公式，有：
，对Engelund
式中： S 输沙率 h 水深
cbw 粗估的沙波速
基于图3.2的符号系统，曲线网格的泥沙连续方程可以表达为如下差分格式：
式中：
Ss s方向的输沙率 Sn n方向的输沙率 n 床沙孔隙率 t 时间
（s，n） 曲线坐标系 Δs s方向的空间步长 Δn n方向的空间步长 （j，k） 网格坐标
为了系统的封闭，在上边界上需要提供边界条件。可选择两种（边界条件），指定床面高程变化率
或简单的指定进入系统的输沙率。
理论上讲，只需指定上边界泥沙输移条件。然而，由于模型允许模拟过程中水流方向的变化，所以在所有的边界上都要指定输沙率。每一指定的边界条件只有在入流情况下才是有效的。
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泥沙输移边界
边界条件可以在每一边界点上指定，也可以在整个边界上指定。如果指定沿河宽的泥沙总量（可以是常数，也可以是时间序列），模型单位为m3/s。模型将自动按局部输沙能力的比例对总输沙量进行分配如下：
式中：
qs,i 边界线上i点的实际输沙率（m/s）(即等价于Ss或Sn) Qs 边界上总输沙率
qes,i边界线上i点的输沙能力（m2/s） n 边界线上的网格点数
Δxi 沿边界线上的网格点间距（即等于Δs或Δn）
输沙能力（也叫平衡挟沙能力，因为泥沙输移在局部水流条件下属于平衡输沙）通过选用的的泥沙输移公式计算出来。计算的输沙率可能会大于（或小于）挟沙能力，如果遇到这种情况，将在边界线上发生冲刷（或淤积）。
在指定泥沙输移边界条件时，对悬移质和推移质是不加区分的，边界条件直接应用到方程（3.1）和（3.2）。然而，当求解描述悬移质运动的对流扩散方程时，悬沙模型需要单独的含沙量边界条件。
含沙量边界条件通过推移质和全沙输沙量按如下方式计算自动得到：
2
式中：
q s,sus i点处实际悬移质输沙率 qs,bed i点处推移质输沙率 C 悬移质质量含沙量(g/m3) q i点流量（单宽流量）（m2/s）
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ps 泥沙密度（kg/m3）
实际推移质与按局部水力条件计算得到的推移质输沙能力相同。只有悬沙由于时空的滞后可以超饱和或欠饱和输沙。这就意味作如果指定的边界条件超过全沙挟沙能力，多余的泥沙将作为额外的悬沙进入模型。
床面高程变化
如果边界条件是以dz/dt的形式指定，则方程（3.2）将不会求解，因为指定的边界条件可以直接计算边界处的新的床面高程。
也是在这种情况下，要求提供单独的质量含沙量，以求解反映悬移质运动的对流扩散方程。边界条件是按如下方式推导的：
式中：
C 悬沙质量含沙量(g/m3) Ce 悬沙平衡含沙量(g/m3)
dz/dt 指定的床面高程变化率(m/day) 86400 一天的秒数 q 点i的流量（单宽流量） Δy 边界线上网格点的间距（m）
上式是基于这样的假定：推移质输沙率总是局部平衡的，且泥沙保持连续性。给定的边界河床变化率将导致边界处的悬移质超饱和输移。作为泥沙输移边界条件，指定的值将直接带入泥沙连续方程，上式仅在对悬沙子模型指定边界条件时使用。
Flood and Dry Points（淹没和干涸点）
在数学模型中那些水深较浅，时常遭遇淹没和干涸的点需要特殊的处理。 在水动力学模型中，淹没水深和干涸水深被应用以处理水深变化所导致的洪泛区的不同蔓延这样的水力条件：
干涸水深：如果局部水深比它小，则此点作为陆地处理。 淹没水深：如果局部水深比它大，则此点作为水域处理。
为了确保水动力学模型的数值稳定性，有必要为淹没水深和干涸水深指定一
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