在[1，e]上的最大值小于零．（9分）
由（Ⅱ）可知
①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递增， 所以h（x）的最小值为h（e），
由可得，
因为，
所以；（10分）
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分） ③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）， 因为0＜ln（1+a）＜1， 所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2 此时，h（1+a）＜0不成立．（12分） 综上讨论可得所求a的范围是：
或a＜﹣2．（13分）
点评： 本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
20．（14分）已知f（x）=ax+bx+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[﹣1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性． （1）求 的取值范围；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （3）求|AC|的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；压轴题．
分析： （1）利用函数f（x）的单调区间判断出x=0是函数的极值点，利用函数在极值点处的导数值为0，列出方程求出c的值，将c的值代入导函数，令导函数为0求出方程的两个根
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即两个极值点，据函数的单调性，判断出根﹣2b3a与区间端点的关系，列出不等式组求出 的取值范围
（2）假设存在，根据导数的几何意义，列出方程，通过判断判别式的符号得到结论．
（3）设出f（x）的三个零点，写出f（x）的利用三个根不是的解析式，将x=2代入，利用韦达定理求出A，C的距离，据（2）求出|AC|的最值． 解答： 解：（1）f（x）=ax+bx+cx+d?f\'（x）=3ax+2bx+c 由题意得：f（x）在[﹣1，0]和[0，2]上有相反的单调性
3
2
2
所以f\'（0）=0 所以c=0
当c=0时，f\'（x）=0的另一个根为
f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性， 所以所以
，
3
2
由题意得：f（x）=ax+bx+d=0的三个不同根为2，xA，xC 得f（2）=0
所以d=﹣8a﹣4b
f（x）=（x﹣2）[ax+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
2
所以ax+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为xA，xC， 所以解得综上得：
…（5分）
，
2
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
2
则 f\'（x0）=3b?3ax0+2bx0﹣3b=0有解（*） 令
2
2
2
得：△=4a（t+9t）=4at（t+9）＜0与（*）矛盾 在函数f（x）的图象上不存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：
…（14分）
所以3≤|AC|≤4
点评： 本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．
