所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．
故选A．
点评： 本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用． 3．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（） A． e
B． ﹣e
C．
D．﹣
考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题．
分析： 欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答： 解：∵y=lnx，∴y\'=，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）． 它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e， ∴k=．
故选C．
点评： 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．（5分）若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围
是（） A． （﹣1，0）∪（0，1） ∪（1，+∞） D．
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
B． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C． （﹣1，0）（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
分析： 由已知中函数，分别讨论a＜0时和a＞0时不等式
af（﹣a）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．
解答： 解：当a＜0时，﹣a＞0 若af（﹣a）＞0，
即f（﹣a）=log2（﹣a）＜0， 解得0＜﹣a＜1 ∴﹣1＜a＜0
当a＞0时，﹣a＜0 若af（﹣a）＞0， 即f（﹣a）=＞0，
解得0＜a＜1
综上实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1） 故选A
点评： 本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的方法．
5．（5分）函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣
，
]的大致图象是（）
A． B．
C．
考点： 函数的图象．
D．
专题： 函数的性质及应用．
分析： f（﹣x）=﹣x+2sinx=﹣（x﹣2sinx）=﹣f（x），所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有CD适合；
由于CD图象中极值点不同，可再求函数的极值点选择答案． 解答： 解：f（﹣x）=﹣x+2sinx=﹣（x﹣2sinx）=﹣f（x），所以函数为奇函数， 故函数的图象关于原点对称，只有CD适合， y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=∴当x=
，
时，函数取极值，故D适合，
故选：D．
点评： 本题主要考查研究函数的奇偶性，利用导数研究函数的极值点，属于基本题．
6．（5分）设函数
，
的零点分别为
x1，x2，则（） A． 0＜x1x2＜1 B． x1x2=1 C． 1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2
考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质． 专题： 计算题．
分析： 题目中函数方程中含有对数与指数式，不好直接求解零点，须结合函数的图象解决，故先分别画出对数函数和指数函数的图象考虑，利用函数的图象与性质解决．
解答： 解析：令f1（x）=0得：log2x=分别画出左右两边函数的图象，如图所示． 由指数与对数函数的图象知：x1＞1＞x2＞0， 于是有故选A．
，令f2（x）=0得：log
x=，
，得，
点评： 本题考查对数函数的图象与性质，函数的图象是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性． 7．（5分）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
2
则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x﹣1）；②f（x）=|2﹣1|；③
x
；④f（x）=e．其中存在“稳定区间”的函数有（）
x
A． ①③ B． ①②③④ C． ②④ D．①②③
考点： 余弦函数的定义域和值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 计算题；压轴题；新定义．
分析： 根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
2
解答： 解：①中，若f（x）=（x﹣1）存在“稳定区间”， 如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
x
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2﹣1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f（x）=cos
x
x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=e存在“稳定区间”
ab
则e+1=a，e+1=b
xx
即e=x﹣1有两个解，即函数y=e与函数y=x﹣1的图象有两个交点，
x
这与函数y=e与函数y=x﹣1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，
x
即f（x）=e不存在“稳定区间” 故选D．
点评： 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键． 8．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对
22
称，x，y满足不等式f（x﹣2x）+f（2y﹣y）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，
的取值范围为（）
A． [12，+∞] B． [0，3] C． [3，12] D．[0，12]
考点： 简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．
解答： 解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， 所以f（x）为 奇函数．
22
∴f（x﹣2x）≤f（﹣2y+y）≤0， 22∴x﹣2x≥﹣2y+y，
∴
即，画出可行域如图，
可得故选D．
=x+2y∈[0，12]．
点评： 本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）若复数z=
（x∈R）为纯虚数，则x=1．
