出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）、若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并
求出点E的坐标． y
F A C
O E B x 甲
y y F A C A C F O E B x O E B x 乙 丙 九年级 第5页
23. （14分）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO． （1）试比较EO、EC的大小，并说明理由． （2）令m＝
S四边形CFGH，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，
S四边形CMNO请说明理由．
21（3）在（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，
332
抛物线y＝mx＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．
2
（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC
上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由． y
G H
F C B M
E
Q
A N O x
九年级 第6页
参考答案
一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5.．C 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D 16. 过C作CH⊥AB于H,设该圆为O,切AB于D,连OC,OD ∵AB=10,AC=8,BC=6 ∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90 ∴PQ为⊙O直径 ∴PQ=OC+OD
易知CH=AC*BC/AB=6*8/10=4.8 OC+OD>=CH
(记得有个垂线段最短的定理,忘了是不是指这个情形,不是的话过O作AB平行线也容易证明此结论) ∴PQ>=4.8 PQ最小值4.8 18、AB=6米
19、(1) ∠AOB= 144°
(2)
6? 520、（1）连接OC，∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠ACO=∠OAC， 又∵∠PFC=∠AFH， ∴∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH∵DE⊥AB ∴∠AHF=90° ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°而点C在⊙O上 ∴PC是⊙O的切线．………………………………2分 2（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD=DE?DF，理由如下： 连结AE ∵点D是劣弧AC的中点 ∴∠DAF=∠DEA ∵∠ADE=∠ADE ∴△DAF∽△DEA 2∴AD：ED=FD：AD ∴AD=DE?DF．………………………………5分 （3）连接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3=OD 易求：DH=22，DA=23． ∵∠DOA=∠AOD 点D是劣弧AC的中点 ∴∠OGA=∠OHD=90°∵OA=OD∴△OGA≌△OHD ∴AG=DH ∴AC=42．………………………………8分（用其他方法可灵活处理） 21、（1）设每月的增长率为x，由题意得: 25+25(1+x)+25(1+x) =91 解得，x＝0.2 ,或x=-3.2(不合题意舍去) ……答：每月的增长率是20%。 （2）三月份的收入是： 25(1+20%) =36 设y月后开始见成效，由题意得: 91+36(y-3)-111 ?22y-2y 解得，y≥8
答：治理污染8个月后开始见成效。………………………………10分
23、解：（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG = BE，则OG = OE． ∴ ∠EGO = 45?，从而 ∠AGE = 135?． 由BF是外角平分线， 得 ∠EBF = 135?，∴ ∠AGE =∠EBF．∵ ∠AEF = 90?，∴ ∠FEB +∠AEO = 90?． 在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90?，∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF， ∴ EF = AE．……（2）在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．理由如下： 假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴ FH = OE，EH = OA．∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a． 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45?，∴ BH = FH = a． 又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，
∴ EH = m－a + a = m．又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾． 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．………………………………6分 （3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a． 由 ∠AEF = 90?，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，
∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，
22九年级 第7页
AOOEnaam?a2a(m?a)2
??，整理得 nh ?且，即= ah + am－a，∴ h?． EHFHh?m?ahn?an?aa(m?a)?(t?1)a，即 m－a =（t + 1）（n－a）．
n?an而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）． 化简得 ta = n，解得a?．
tn∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．
tnn∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．…………10分
tt把h =（t + 1）a 代入得
24、（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值
22222
∵S四边形CFGH=CF=EF－EC=EO－EC=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴m?S四边形CFGH……………………………………………………4分?1S四边形CMNO
11212 ∴EF=EO=1???QF∴cos∠FEC= ∠FEC=60°，
33332
180??60??60???OEA，?EAO?30? ∴?FEA?2（3）∵CO=1，CE?，QF?∴△EFQ为等边三角形，EQ?21133作QI⊥EO于I，EI=EQ?，IQ= EQ?3 2323∴IO=
2113131??∴Q点坐标为(1)， Q(,)∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，,)，333 33 33
m=1 ∴可求得b??3，c=1 ∴抛物线解析式为y?x2?3x?1（4）由（3），AO?当x?……………………………………8分
3EO?233
22213时，y?(3)2?3?3?1?＜AB 3333∴P点坐标为(∴BP=1?231,) …………………9分 3312?AO 33方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
九年级 第8页
2234383①BK?3时，BK?∴K点坐标为(,1)或(,1)999 223332②BK3时，BK?23233?2343∴K点坐标为(,1)或(0,1)…………10分
3 3
故直线KP与y轴交点T的坐标为
571(0,?)或(0,)或(0,?)或(0,1)…………………………………………11分
333
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R， 则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时，RT?23?3?23 232?3?33
