分式方程
易错清单
1. 解分式方程时为什么容易出错? 【例1】 (2014·新疆)解分式方程:+=1.
【解析】 先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.
【答案】 方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x-9, 去括号,得3+x+3x=x-9, 解得x=-4.
检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,
2
2
2
∴ x=-4是原分式方程的解.
【误区纠错】 最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.
【例2】 (2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.
【解析】 先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2). 【答案】 去分母,得3x-6-x-2=0, 解得x=4,
经检验,x=4是原方程的根, 故x=4是原方程的解.
【误区纠错】 解分式方程产生增根,忘记验根. 【例3】 (2014·贵州黔西南州)解方程:=.
【解析】 将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.
【答案】 方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4, 解得x=2,
经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.
【误区纠错】 增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.
2. 运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.
【例4】 (2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
【解析】 设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程. 【答案】 设第一批盒装花的进价是x元/盒, 由题意,得2×=, 解得x=30.
经检验,x=30是原方程的根. 故第一批盒装花每盒的进价是30元.
【误区纠错】 题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.
名师点拨
1. 会利用分式方程的定义判断分式方程.
2. 能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程. 3. 会利用检验思想判断分式是否存在增根.
4. 会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义. 提分策略
1. 分式方程的解法.
解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.
【例1】 解方程:+=1.
【解析】 根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可. 【答案】 方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x-4, 去括号,得2+x+2x=x-4, 解得x=-3.
检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,
2
2
2
∴ x=-3是原分式方程的解.
2. 利用分式方程解决实际问题.
列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.
【例2】 几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个
小伙伴的对话:
根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.
【解析】 设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.
【答案】 设票价为x元, 由题意,得=+2, 解得x=60,
经检验,x=60是原方程的根, 则小伙伴的人数为=8. 故小伙伴们的人数为8人.
专项训练
一、 选择题
1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为( ). A. +2=+0.5 C. -=2-0.5
B. -=2-0.5 D. -=2+0.5
2. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得( ). A. 8x+1=0 C. x-7x+2=0
2
B. 8x-3=0 D. x-7x-2=0
2
二、 填空题
3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是 . 4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运 千克化工原料. 5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为 . 6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是 .
7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为 . 三、 解答题
8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.
9. (2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?
10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:
信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;
信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元. 根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?
11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.
12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.
13. (2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.
