（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? ∵M是AD中点 ∴AM?MD ∵AD∥BC
∴∠AMB?∠MBC?60?，
∠DMC?∠MCB?60?
∴△AMB≌△DMC ∴AB?DC
∴梯形ABCD是等腰梯形．
∠MBC?∠MCB?60?，（2）解：在等边△MBC中，MB?MC?BC?4，
∠MPQ?60?
∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∴∠BMP?∠QPC ∴△BMP∽△CQP ∴
PCCQ? BMBP∵PC?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y ∴
x4?y12? ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： △PQC为直角三角形 ∵y?12?x?2??3 4∴当y取最小值时，x?PC?2
∴P是BC的中点，MP?BC，而∠MPQ?60?， ∴∠CPQ?30?， ∴∠PQC?90?
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不
是一样呢?接下来我们看另外两道题.
【例4】2010，门头沟，一模
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，CG． G为DF中点，连接EG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
CG，（2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
ADGEB图1CEFB图3CAGEFDAD
CFB图2 【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG?EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．
证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中，
?ADG??CDG，DG?DG， ∵AD?CD，∴?DAG≌?DCG． ∴AG?CG．
在?DMG与?FNG中，
FG?DG，?MDG??NFG， ∵?DGM??FGN，∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG
在矩形AENM中，AM?EN 在Rt?AMG与Rt?ENG中， MG?NG， ∵AM?EN，∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG
AMGEFDNC
B图2 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．
AGEFD
B图3C
【例5】（2010，朝阳，一模）
已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．
BE=1 时，CF=______cm， CEBE（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；
CEBE（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的
CE（1）当
面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
D
C
A
B
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 【解析】
（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M， ∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ∵
BEAB?． CEFC图1
BE=2， ∴ CF=3． CE∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=∴ sin∠DAB′=
135． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法） 22DM5?； AM13②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N， 同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′ N=12-m． 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得
15． 2B?N39∴ B′ N=． ∴ sin∠DAB′=?．
2AN518x（3）①当点E在BC上时，y=；
x?1m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=
图2
（所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长） ②当点E在BC延长线上时，y=
18x?18． x【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
