ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y=k1x+b1， 把A、Q坐标代入可得
，解得k1=﹣（t﹣3），
，解得
或
，
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t， ∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=当t=当t=
时，﹣t+2t+3=时，﹣t2+2t+3=
，
2
，
， ， ）或（
，，
）； ）或（
，
）．
∴Q点坐标为（
综上可知Q点坐标为（1，4）或（
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 类型三：二次函数与动点产生的四边形问题
【例3】（2018东营）（12.00分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解
析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；
（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可． 【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0）， ∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC， ∴OC：OB=OA：OC， ∴OC2=OA?OB=3， 则OC=
；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线， ∴OC=BC，
∴点C的横坐标为又OC=∴C（
，
，点C在x轴下方， ，﹣
），
设直线BM的解析式为y=kx+b， 把点B（3，0），C（解得：b=﹣∴y=
x﹣
，k=， ，﹣，
x2﹣
x+2
；
）在抛物线上，代入抛物线解析式， ，﹣，
）代入得：
，
又∵点C（解得：a=
∴抛物线解析式为y=（3）点P存在， 设点P坐标为（x，则Q（x，∴PQ=
x﹣
x﹣
x2﹣），
x2﹣
x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，
﹣（x+2）=﹣x2+3x﹣3，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大， S△BCP=当x=﹣（，﹣
PQ（3﹣x）+=
PQ（x﹣
）=
PQ=﹣
x2+
x﹣
，
时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 【真题热身】
1. （2018山东淄博）（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，
），点B（3，﹣
），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围； （3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣
）求出相关角度．
），点B（3，﹣
）分别代入y=ax2+bx得
【解答】解：（1）把点A（1，
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=当x＞
时，y随x的增大而减小
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F
分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大． ∵A（1，
），点B（3，﹣
）
∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°
当OC⊥AB时，∠BOC=60° 点C坐标为（
，
）．
【点评】本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．
2. （2018山东枣庄）（10分）如图1，已知二次函数y=ax+
2
x+c（a≠0）的图
象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+
x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=
（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
