备战2019中考初中数学六大题型专项突破
专题六:二次函数综合题
【方法指导】
二次函数综合题最能体现初中代数的综合性和能力性，因此二次函数在近几年考题中已经形成必不可少的题型，并作为压轴问题来进行考查.
二次函数综合题综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形和圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合及其代入法、消元法、配方法、待定系数法等.解题时要注意各个知识点的联系和思想的融合，及其技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，个个击破。从而达到解决问题的目的。 【典例解析】
类型一：二次函数与一次函数的综合问题 【例1】（2018
湖南郴州）（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x
轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
，解得：
，
来源学+科+网∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴S=
PF?OB=﹣＜0，
．
t2+t=﹣（t﹣
）2+
．
②∵﹣
∴当t=时，S取最大值，最大值为
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=
=3
，
∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值． 类型二：二次函数与动点产生的三角形问题
【例2】（2018海南）（15.00分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q
的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，当∠ADQ=90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标． 【解答】解： （1）由题意可得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD=2，且CD∥x轴， ∵A（﹣1，0）， ∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=
×2×3+
×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°， i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线AD解析式为y=x+1， ∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′， 把D（2，3）代入可求得b′=5， ∴直线DQ解析式为y=﹣x+5， 联立直线DQ和抛物线解析式可得∴Q（1，4）；
