①过P作PC的垂线与x轴交于F，与抛物线交于Q，
设AC与y轴交于G，则G(0, -1)，OG=1，又可知A(-1, 0) 则OA=1，∴△OAG是等腰直
o
角三角形，∴∠OAG=45
∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0) 设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则
?3k1?b1?0，解之得k1=1, b1= -3，∴直线PF为y=x-3 ?k?b??2?11
5
由???x1?2?5??x2?2?5解得 ??2y?x?3x?4???y1?5?1??y2??5?1?y?x?3∴Q1(2+5, 5-1) Q2(2-5, -5-1)
②过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45，知△ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7, 0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则
?7k2?b2?0，解之得k2=1, b2= -7，∴直线CH的解析式为y=x-7 ?3k?b??42?2o
解方程组??y?x?72?y?x?3x?4得??x1?1?x?3 ?2 y??6y??4?1?2当Q(3, -4)时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为(1, -6)
综上所述在抛物线上存在点Q1(2+5, 5-1)、Q2(2-5, -5-1)、Q3(1, -6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。
6．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是?AB上任
一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分
别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若
S＝43，求△ABC的周长. DE2
解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
6
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝
11OP＝，AF＝BF． 2231在Rt△OAF中，∵AF＝OA2?OF2＝12?()2＝，∴AB＝2AF＝3．
22（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝
1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴S?S?ABD?S?ACD?S?BCD
＝
11111AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． 222221lDES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE. DE2DE2∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝
1∠ACB＝30°， 2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．
tan3033又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，
3∴△ABC的周长为83． 37． 如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y?3x交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；
l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形
为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7
解：（1）C（4，43），t的取值范围是：0≤t≤4
（2）∵D点的坐标是（t，?3t?83），E的坐标是（t，3t）
∴DE=?3t?83-3t=83?23t ∴等边△DEF的DE边上的高为：12?3t ∴当点F在BO边上时：12?3t=t，∴t=3
① 当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：83?23t-233t S=
t2(83?23t?83?23t?233t) =
t2(163?1433t)=?733t2?83t 当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形 S=
12(83?23t)(12?3t) =33t2?243t?483 （3）存在，P（
247，0） … 说明：∵FO≥43，FP≥43，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP, 若FO=FP时，t=2（12-3t），t=247，∴P（247，0）
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =
14x2+1， 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点
P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
8
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
解：(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴ A，
（第24题）
B的横坐标分别是2和– 2，
代入y =
12x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，42)， (2) ① 过点Q作QH ? x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
yx?t?, 即： t = x – 2y , 241212 ∵ Q(x,y) 在y = x+1上， ∴ t = –x+ x –2，
42由△HQP∽△OMC，得：
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1?5， 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ? 2 ∴x的取值范围是x ? 1?5, 且x?? 2的所有实数. ② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ， ∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(∴t = –
12x+1)，解得x = 0 ， 4120+ 0 –2 = –2 21PQ， 22）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM = ∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即当x = –23时，得t = –
12x+1=2?2，解得： x = ?23. 41(23)2–23–2 = –8 –23, ， 2当x =23时， 得t =23–8.
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