中考数学压轴题
1．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形
ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速
平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动．．．．．的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
5① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
2② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）y??x2?4x
（2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：P（t,t），N（t，?t?4t）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
2S?S?PCD?S?PNC
112=1CD?OD+1PN?BC=?3?2+?t2?4t?t?2=?t?3t?3
2222??=?(t?)?32221 43321，且0＜t＜＜3时，S最大= 224∵抛物线的开口方向：向下，∴当t=
当t?3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，S?11S矩形ABCD=?2?3=3 2221． 4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
22．已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设
1
运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：（1）∵二次函数y?ax2?bx?c的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入y?ax2?bx?c得
??0?9a?3b?3，?4a?2b?3.解得：a=1，b=-2．∴y?x2?2??3x?3． 配方得：y?（x?1）2?4，所以对称轴为x=1．
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t． ∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E． 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1． 解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形． ②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1． 又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ． ∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-S?BPN，
=S四边形ABFG-S?BPN．由S19四边形ABFG?2(BF?AG)FG=2．
S?BPN?12BP?12FG?39340t．∴S=2?40t．又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒． ∴0 2 3．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求： （1）C的坐标为 ▲ ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。 解：（1）Ｃ（４，１）； （2）当∠MDR＝45０ 时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0） 当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0） （3）Ｓ＝－ 12ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝1２ 2ｔ－２ｔ（ｔ＞４） 1339当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝4，Ｓ＝32 99当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝2，Ｓ＝8 111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝18 3 4．如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式． （2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. //解：（1）将B、C两点的坐标代入得??3b?c?0?b??2解得：? ?c??3?c??3所以二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 2（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x?2x?3）， ///PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO． /3连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2∴y=?3． 22∴x?2x?3=?3 2解得x1= 2?102?10，x2=（不合题意，舍去） 222?10，?3） 22∴P点的坐标为（ 2（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x?2x?3）， 4 易得，直线BC的解析式为y?x?3，则Q点的坐标为（x，x－3）. S四边形ABPC?S?ABC?S?BPQ?S?CPQ??111AB?OC?QP?OE?QP?EB 22211?4?3?(?x2?3x)?3 2223?3?75=??x??? 2?2?8当x? 3 时，四边形ABPC的面积最大 2 此时P点的坐标为?,?面积的最大值为 ?3?215??，四边形ABPC的 4?75． 85．如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度 的最大值； （3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为 直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由． 解：（1）由题知??a?b?4?0，解得a=1, b= -3 ， 9a?3b?4??4?2 2 ∴抛物线解析式为y=x-3x-4 2 （2）设点P坐标(m, -m-1)，则E点坐标(m, m-3m-4) 222 ∴线段PE的长度为：-m-1- (m-3m-4)= -m+2m+3 = -(m-1)+4 ∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。 （3）由（2）知P(1, -2)
