若收敛，收敛于哪一个根？
（1）
1.5
x=-（2）
0.5
x=
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
13
解：由下山Newton 迭代格式13)(')(231---=-=+k k k k k k k k k x x x x x f x f x x λλ
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
14
习题三
1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：
123
123
123
0.26410.17350.86420.7521
0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.07110.2501
x x x
x x x
x x x
++=-
??
??
-+=
??
??
--+=
??
解：高斯消元法：
()
0.26410.17350.86420.7521
|0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.0710.2501
A b
-
??
?
=-
?
?
--
??
=
0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521
0 -0.6358 -2.9332 3.3111
0 0.1434 2.8986 -2.2107
??
?
?
?
??
0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521
0 -0.6358 -2.9332 3.3111
0 0 2.2372 -1.4640
??
?
= ?
?
??
T
( 0.7315, -2.1889, -0.6544)
x=
高斯列选主元消元法
()
0.26410.17350.86420.7521
|0.94110.01750.14630.6310
0.86410.42430.0710.2501
A b
-
??
?
=-
?
?
--
??
0.94110.01750.14630.6310
0.26410.17350.86420.7521
0.86410.42430.0710.2501
-
??
?
=-
?
?
--
??
0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310
0 0.1784 0.8231 -0.9292
0 -0.4404 0.2054 0.8295
??
?
= ?
?
??
0.94110.01750.14630.6310
0 -0.4404 0.2054 0.8295
0 0.1784 0.8231 -0.9292
-
??
?
= ?
?
??
0.9411-0.01750.1463
0-0.44040.20540.8295
000.9064-0.
5931
??
?
= ?
?
??
()
x=0.7315, -2.1889,-0.6544 T
2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
15
12
12
1.133 5.281 6.414,
24.14 1.21022.93
x x
x x
+=
?
?
-=
?
解：高斯消元法
() 1.1330 5.2810 6.4140
A|b
24.14 -1.210 22.93
??
= ?
??
=
1.1330 5.2810 6.4140
0 -113.7284 -113.7284
??
?
??(1,1)T
x=
列选主元法
() 1.1330 5.2810 6.4140
A|b
24.14 -1.210 22.93
??
= ?
??
24.14 -1.210 22.93
1.1330 5.2810 6.4140
??
= ?
??
24.1400 -1.2100 22.9300
0 5.3378 5.3378
??
= ?
??
(1,1)T
x=
3.方程组Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=()(1),1n ij i j
a
=
, 变为
(1)
11
(2)
*
a
A
??
?
??
,其中
(2)
A=()(2),2n ij i j
a
=
为(n-1)?(n-1)矩阵.其元素为
(2)
ij
a=(1)
ij
a-(1)(1)
11
i j
a a/(1)
11
a, ,i j=2,3,n.
证明下面结论:（1）当A对称正定时, (2)
A也对称正定;
（2）当A对角占优时, (2)
A也对角占优.
证明:（1）因为A对称,所以(1)(1)
i j ji
a a
=;
(2)
ij
a=(1)
ij
a-(1)(1)
11
i j
a a/(1)
11
a=(1)(1)(1)(1)
1111
/
ji j i
a a a a
-=(2)
ji
a
故(2)
A对称;
A正定, ∴(1)
11
a>，又
(1)
11
(2)
*
a
A
??
?
??
=
1
L A
湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案
16其中:
(1)
21
(1)
11
1
(1)
1
(1)
11
10
1
n
a
a
L
a
a
??
?
?
-
?
= ?
?
?
?
- ?
??
显然,
1
L非奇异;对任何x 0
≠, 有:
1
L x≠
A正定, ∴()()
1111
()0
T T T
L x A L x x L AL x
=>，∴
11
T
L AL正定;
又:
11
T
L AL=
(1)
11
(2)
a
A
??
?
??
而(1)
11
a>故(2)
A正定;
(1)当A对角占优时, (1)(1)
||||
n
ii ij
i j
a a
≠
≥∑
(2)(2)
||||
n
i i i j
i j
a a
≠
-∑(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11111111
,2
|/||/|
n
ii i i ij i j
i j j
a a a a a a a a
≠=
=---
∑
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
11111111
(1)
,2
11
1
||||
n
ii i i ij i j
i j j
